Question

8．如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD交BE于點P，BQ⊥AD于Q．
（1）求證：AD=BE；
（2）設(shè)∠BPQ=α，那么α的大小是否隨D、E的位置變化而變化？請說明理由；
（3）若PQ=3，PE=1，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明AD=BE，只要證明△ACD≌△BAE即可．
（2）由α=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP即可得出結(jié)論．
（3）在RT△PBQ中，利用30度角的性質(zhì)即可知道PB=2PQ，由此可以解決問題．

解答 （1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=AB，∠C=∠BAC=60°
在△ACD和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠C=∠BAE}\\{CD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BAE，
∴AD=BE．
（2）解：不變．由（1）可知：△ACD≌△BAE，
∴∠CAD=∠ABE，
∵α=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°，
（3）解：在△PBQ中，∠PBQ=90°-∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=6，
∴AD=BE=BP+PE=6+1=7．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)等知識，解題的根據(jù)利用全等三角形的性質(zhì)，屬于中考�？碱}型．