Question

【題目】如果一個三角形的兩個內角α，β滿足α+2β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“非常三角形”．

（1）若△ABC是“非常三角形”，∠C＞90°，∠A=50°，則∠B= ．

（2）如圖，△ABC中，AB=AC，D是邊BC上一點，以BD為直徑的⊙O經過點A，連結AD．

①求證：△ADC為“非常三角形”．

②若sinB=，AB=8，弦AB上是否存在一點P，使得△BDP是“非常三角形”，若存在，請求出線段AP的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②或3．

【解析】

（1）先根據三角形的內角和定理可得，再根據“非常三角形”的定義即可得；

（2）①先根據圓周角定理可得，從而可得，再根據等腰三角形的性質可得，然后根據三角形的外角性質、等量代換即可得證；

②先解直角三角形求出，再根據三角形的外角性質求出，據此分如圖1和如圖2（見解析）兩種情況，然后分別利用相似三角形的判定與性質求解即可得．

（1）

則由“非常三角形”的定義得：，即

解得

故答案為：；

（2）①∵BD是直徑

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴是“非常三角形”；

②在中，，

設，則

由勾股定理得：，解得

∴

因為

所以根據“非常三角形”的定義，分以下兩種情況：

情況1：如圖1，若，是“非常三角形”

∵

∴

過點P作

由角平分線的性質得：

在和中，

，即

解得

情況2：如圖2，若，是“非常三角形”

∵

∴

在和中，

，即

解得

綜上，線段AP的長度為或3．