Question

【題目】如圖①，在△ABC 中，CD⊥AB 于點(diǎn) D，AD＝CD＝2，BD＝4，點(diǎn) E 是線段BD 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿折線 AC－CB 向終點(diǎn) B 運(yùn)動，點(diǎn) P 在邊 AC 上的速度為每秒個(gè)單位長度，P在BC邊上的速度為個(gè)單位長度，設(shè)P的運(yùn)動時(shí)間為 t(秒)．

(1)用含 t 的代數(shù)式表示點(diǎn) P 到直線 AB 的距離．

(2)如圖②，作點(diǎn) P 關(guān)于直線 CD 的對稱點(diǎn) Q，設(shè)以 D、E、Q、P 為頂點(diǎn)的四邊形的面積為 S(平方單位)，求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式．

(3)當(dāng)點(diǎn) P 在邊 BC 上時(shí)，在△BCD 的邊上(不包括頂點(diǎn))存在點(diǎn) H，使四邊形 DEPH為軸對稱圖形，直接寫出此時(shí)線段 CP 的長．

Answer 1

【答案】(1)或；(2) ；(3)或或或

【解析】

(1)分兩種情況：
①當(dāng)P在邊AC上時(shí)，如圖1，根據(jù)△APG是等腰直角三角形，可得；
②當(dāng)P在邊BC上時(shí)，如圖2，根據(jù)三角函數(shù)sin∠B，可得PG的長；
(2)分兩種情況：
①當(dāng)0＜t＜2時(shí)，P在邊AC上，如圖3，②當(dāng)2＜t＜4時(shí)，P在邊BC上，如圖4，
四邊形PQDE是梯形，根據(jù)梯形面積公式代入可得結(jié)論；
(3)分4種情況：
①如圖5，當(dāng)四邊形DEPH是矩形時(shí)；②如圖6，當(dāng)四邊形DEPH是等腰梯形時(shí)；③如圖7，過D作DP⊥BC于P，過E作EH⊥PD，交CD于H，④如圖8，過E作EP⊥BC于P，在BC上取點(diǎn)H，使PH=EP，連接DH，③和④是箏形；分別求出各情況的CP的長即可．

(1)過P作PG⊥AB于G，
分兩種情況：
①當(dāng)P在邊AC上時(shí)，如圖1，

Rt△ADC中，AD=CD=2，
∴∠A=45°，
∴△APG是等腰直角三角形，

由勾股定理得：AC=，

P走完AC段所花時(shí)間為：(秒)，
P在邊AC上，即02時(shí)，

由題意得：AP=，
∴AG=PG= AP=，
即點(diǎn)P到直線AB的距離是t；
②當(dāng)P在邊BC上時(shí)，如圖2，

BC=，

P走完BC段所花時(shí)間為：，

P在邊BC上，即24時(shí)，

由題意得：CP=，

∴BP= BC - CP =，

sin∠B=，

∴，

∴PG=，
即點(diǎn)P到直線AB的距離是；
(2)分兩種情況：
①當(dāng)0＜t＜2時(shí)，P在邊AC上，如圖3，

設(shè)PQ與CD交于H，
∵點(diǎn)P關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)Q，
∴PQ⊥CD，
∵AB⊥CD，
∴PQ∥AB，
∴△CPH∽△CAD，

∴，

∴，

∴PH=CH=，PQ=2PH=，

∵BD＝4，點(diǎn) E 是線段BD 的中點(diǎn)，

∴DE=，
∴DH=CD-CH ，
∴；

②當(dāng)2＜t＜4時(shí)，P在邊BC上，如圖4，

設(shè)PQ與CD交于H，
由題意得：CP，

同理PQ∥AB，
∴△CPH∽△CBD，

∴，

∴，

∴PH=2()，CH=，
∴DH=CD-CH=2()=，PQ=2PH=4)=，

∴；

(3)分4種情況：
①如圖5，

當(dāng)四邊形DEPH是矩形時(shí)，四邊形DEPH是軸對稱圖形，

∴PE∥CD，
∵點(diǎn) E 是線段BD 的中點(diǎn)，

∴P是BC的中點(diǎn)，
∴CP=；
②如圖6，

當(dāng)四邊形DEPH是等腰梯形時(shí)，四邊形DEPH是軸對稱圖形，

∴DH∥PE，
則BD=BH=4，BE=PB=2，
此時(shí)CP ；
③如圖7，

過D作DP⊥BC于P，過E作EH⊥PD，交CD于H，
∴EH∥BC，
∵E是BD的中點(diǎn)，
∴EH是PD的中垂線，
∴PH=DH，PE=DE，
∴四邊形DEPH為軸對稱圖形，
=，

∴，

∴，

由勾股定理得：CP=；

④如圖8，

過E作EP⊥BC于P，在BC上取點(diǎn)H，使PH=EP，連接DH，過H作HG⊥CD于G，
∵Rt△EPBRt△CDB中，BE=2，

∴，

∴，
∴EP=，PB=，

CH=BC-PH-PB=，

∵GH∥BD，
∴△CGH∽△CDB，

∴，

∴，

∴，，

∴，

由勾股定理得：，

∴四邊形DEPH為軸對稱圖形，
此時(shí)CP=CH+HP=；

綜上所述，CP的長為：或或或．