Question

 已知：四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，CH垂直平分BD
（1）求證：AC平分∠BAD；     
（2）若∠BCD=60°，求證：AB+AD=AC．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）過C作CM⊥AB，CN⊥AD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得CB=CD，然后證明△CBM≌△CND，進(jìn)而得到CM=CN，再根據(jù)角平分線的判定可得AC平分∠BAD；
（2）延長BA到E，使AE=AD，然后△AED為等邊三角形，△CBD是等邊三角形，再證明△EBD≌△ACD，可得BE=AC，利用等量代換可得AD+AB=AC．

解答：證明：（1）過C作CM⊥AB，CN⊥AD，
∴∠BMC=∠CND=90°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDN=180°，
∴∠ABD=∠CDN，
∵CH垂直平分BD，
∴CB=CD，
在△CBM和△CDN中

∠CMB=∠CND ∠ABC=∠CDN CB=CD

，
∴△CBM≌△CND（AAS），
∴CM=CN，
∴AC平分∠BAD；

（2）延長BA到E，使AE=AD，
∵∠BCD=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAD=60°，
∴△AED為等邊三角形，
∴AD=ED，
∵CB=CD，∠BCD=60°，
∴△CBD是等邊三角形，
∴BD=CD，
∵∠ADE=∠BDC=60°，
∴∠BDE=∠ADC，
在△BDE和△CAD中

AD=DE ∠BDE=∠ADC DB=CD

，
∴△EBD≌△ACD（SAS），
∴BE=AC，
又∵AE=AD，BE=AE+AB，
∴AD+AB=AC．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的判定，關(guān)鍵是找出證明三角形全等的條件．