平面上,Rt△ABC與直徑為CE的半圓O如圖1擺放,∠B=90°,AC=2CE=m,BC=n,半圓O交BC邊于點D,將半圓O繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn),點D隨半圓O旋轉(zhuǎn)且∠ECD始終等于∠ACB,旋轉(zhuǎn)角記為α(0°≤α≤180°).
(1)①當(dāng)α=0°時,連接DE,則∠CDE= °,CD= ;②當(dāng)α=180°時, = .
(2)試判斷:旋轉(zhuǎn)過程中的大小有無變化?請僅就圖2的情形給出證明.
(3)若m=10,n=8,當(dāng)α=∠ACB時,線段BD= .
(4)若m=6,n=,當(dāng)半圓O旋轉(zhuǎn)至與△ABC的邊相切時,線段BD= .
【考點】圓的綜合題.
【分析】(1)①根據(jù)直徑的性質(zhì),由DE∥AB得即可解決問題.②求出BD、AE即可解決問題.
(2)只要證明△ACE∽△BCD即可.
(3)求出AB、AE,利用△ACE∽△BCD即可解決問題.
(4)分類討論:①如圖5中,當(dāng)α=90°時,半圓與AC相切,②如圖6中,當(dāng)α=90°+∠ACB時,半圓與BC相切,分別求出BD即可.
【解答】(1)解:①如圖1中
當(dāng)α=0時,連接DE,則∠CDE=90°,
∵∠CDE=∠B=90°,
∴DE∥AB,
∴=
,
∵BC=n,
∴CD=.
故答案為90°,n.
②如圖2中,當(dāng)α=180°時,BD=BC+CD=n,AE=AC+CE=
m,
∴=
.
故答案為.
(2)如圖3中,
∵∠ACB=∠DCE,
∴∠ACE=∠BCD,
∵,
∴△ACE∽△BCD,
∴.
(3)如圖4中,當(dāng)α=∠ACB時,
在RT△ABC中,∵AC=10,BC=8,∴AB==6,
在RT△ABE中.∵AB=6,BE=BC﹣CE=3,
∴AE==
=3
,
由(2)可知△ACE∽△BCD,
∴,
∴=
,
∴BD=,
故答案為.
(4)∵m=6,n=,
∴CE=3,CD=2,AB=
=2,
①如圖5中,當(dāng)α=90°時,半圓與AC相切,
在RT△DBC中,BD==
=2
.
②如圖6中,當(dāng)α=90°+∠ACB時,半圓與BC相切,
作EM⊥AB于M,
∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°,
∴四邊形BCEM是矩形,
∴,
∴AM=5,AE==
,
由(2)可知=
,
∴BD=.
故答案為2或
.
【點評】本題考查圓的有關(guān)知識,相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識,正確畫出圖形是解決問題的關(guān)鍵,學(xué)會分類討論的思想,本題綜合性比較強,屬于中考壓軸題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,三個正方形圍成一個直角三角形,64,400分別為所在正方形的面積,則圖中字母所代表的正方形面積是( )
A.400+64 B. C.400﹣64 D.4002﹣642
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在第1個△A1BC中,∠B=20°,A1B=CB;在邊A1B上任取一點D,延長CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2個△A1A2D;在邊A2D上任取一點E,延長A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3個△A2A3E,…按此做法繼續(xù)下去,則第5個三角形中以A5為頂點的內(nèi)角度數(shù)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖所示,正方形ABCD的面積為12,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內(nèi),在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小,則這個最小值為( �。�
A.2 B.2
C.3 D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
八年級(1)班學(xué)生在完成課題學(xué)習(xí)“體質(zhì)健康測試中的數(shù)據(jù)分析”后,利用課外活動時間積極參加體育鍛煉,每位同學(xué)從籃球、跳繩、立定跳遠、長跑、鉛球中選一項進行訓(xùn)練,訓(xùn)練后都進行了測試.現(xiàn)將項目選擇情況及訓(xùn)練后籃球定時定點投籃測試成績整理后作出如下統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)上面提供的信息回答下列問題:
(1)扇形圖中跳繩部分的扇形圓心角為 度,該班共有學(xué)生 人,訓(xùn)練后籃球定時定點投籃平均每個人的進球數(shù)是 .
(2)老師決定從選擇鉛球訓(xùn)練的3名男生和1名女生中任選兩名學(xué)生先進行測試,請用列表或畫樹形圖的方法求恰好選中兩名男生的概率.
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