Question

10．已知：如圖，在?ABCD中，點E在BC邊上，連接AE，O為AE中點，連接BO并延長交AD于F．
（1）求證：△AOF≌△EOB；
（2）當(dāng)AE平分∠BAD時，四邊形ABEF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的定義可得AD∥BC，進(jìn)而可得∠FAE=∠AEB，∠AFO=∠EBO，再由O為AE中點可得AO=EO，然后可利用AAS判定：△AOF≌△EOB；
（2）首先證明四邊形ABEF是平行四邊形，然后再證明AB=AF可得四邊形ABEF是菱形．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，∠AFO=∠EBO，
∵O為AE中點，
∴AO=EO，
在△AOF和△EOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠BEO}\\{∠AFO=∠EBO}\\{AO=EO}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△EOB（AAS）；

（2）解：四邊形ABEF是菱形；
∵△AOF≌△EOB，
∴AF=BE，
∵AD∥BC，
∴AF∥BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∴AE平分∠BAD，
∴∠ABF=∠EBF，
∵∠AFO=∠EBO，
∴∠ABO=∠AFO，
∴AF=AB，
∴四邊形ABEF是菱形．

點評 此題主要考查了菱形的判定，以及平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形對邊平行，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．