Question

在?ABCD中，對角線BD⊥BC，G為BD延長線上一點且△ABG為等邊三角形，∠BAD、∠CBD的平分線相交于點E，連接AE交BD于F，連接GE．
（1）若?ABCD的面積為9

3

，求AG的長；
（2）求證：AE=BE+GE．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質,全等三角形的判定與性質

專題：計算題

分析：（1）由三角形ABG為等邊三角形，得到三邊相等，三角相等且為60°，根據(jù)ABCD為平行四邊形，得到AD與BC平行，再由BD垂直于BC，得到兩個內錯角都為90°，進而求出∠DAB=30°，在直角三角形ADB中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半表示出BD，進而表示出AD，表示出平行四邊形的面積，將表示出的AD，BD，以及已知面積代入求出AG的長；
（2）在AE上取一點Q，使EQ=BE，連接BQ，由AE，BE平分∠BAD、∠DBC，求出∠BAE與∠DBE的度數(shù)，利用內角和定理求出∠AEB=60°，由EQ=BE，得到三角形BQE為等邊三角形，得到BE=BQ，∠QBE=60°，得到夾角相等，利用SAS得到三角形ABQ與三角形GBE全等，利用全等三角形對應邊相等得到AQ=GE，等量代換即可得證．

解答：（1）解：∵△ABG為等邊三角形，
∴AB=AG=BG，∠ABG=∠GAB=∠AGB=60°，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，
∵BD⊥BC，
∴∠ADB=∠DBC=90°，
∴∠DAB=

1

2

∠GAB=30°，
在Rt△ADB中，BD=

1

2

AB，AD=

3

2

AB，
∵S_{平行四邊形ABCD}=AD•BD=

3

4

AB²=9

3

，
∴AB=6，即AG=6；
（2）證明：在AE上取一點Q，使EQ=BE，連接BQ，
∵AE、BE分別平分∠BAD、∠DBC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAD=15°，∠DBE=

1

2

∠DBC=45°，
∴∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°，
∴∠AEB=60°，
∵EQ=BE，
∴△BQE為等邊三角形，
∴BE=BQ，∠QBE=60°，
∴∠ABD=∠QBE=60°，
∴∠ABQ=∠FBE，
在△ABQ和△GBE中，

AB=BQ ∠ABQ=∠FBE BQ=BE

，
∴△ABQ≌△GBE（SAS），
∴AQ=GE，
則AE=AQ+QE=GE+BE．

點評：此題考查了平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解本題的關鍵．