Question

如圖，已知△ABC是等腰三角形，頂角∠BAC=α（α＜60°），D是BC邊上的一點，連接AD，線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α到AE，過點E作BC的平行線，交AB于點F，連接DE，BE，DF．
（1）求證：BE=CD；
（2）若AD⊥BC，試判斷四邊形BDFE的形狀，并給出證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得∠BAE=∠CAD，從而SAS證明△ACD≌△ABE，得出答案BE=CD；
（2）由AD⊥BC，SAS可得△ACD≌△ABE≌△ABD，得出BE=BD=CD，∠EBF=∠DBF，再由EF∥BC，∠DBF=∠EFB，從而得出∠EBF=∠EFB，則EB=EF，證明得出四邊形BDFE為菱形．

解答：證明：（1）∵△ABC是等腰三角形，頂角∠BAC=α（α＜60°），線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α到AE，
∴AB=AC，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ACD和△ABE中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴BE=CD；
（2）∵AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BE=BD=CD，∠BAD=∠CAD，
∴∠BAE=∠BAD，
在△ABD和△ABE中，

AE=AD ∠BAE=∠BAD AB=AB

，
∴△ABD≌△ABE（SAS），
∴∠EBF=∠DBF，
∵EF∥BC，
∴∠DBF=∠EFB，
∴∠EBF=∠EFB，
∴EB=EF，
∴BD=BE=EF=FD，
∴四邊形BDFE為菱形．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．