Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問(wèn)題：

（1）設(shè)△APQ的面積為S，當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值？S的最大值是多少？

（2）如圖乙，連接PC，將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時(shí)，求t的值；′

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形？

 

 

Answer 1

(1)當(dāng)t為秒時(shí)，S最大值為cm2;

當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時(shí)，t的值是s；

當(dāng)t為s或s或s時(shí)，△APQ是等腰三角形．

【解析】

試題分析：

（1）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出=，從而求出AB，再根據(jù)=，得出PH=3﹣t，則△AQP的面積為：AQ•PH=t（3﹣t），最后進(jìn)行整理即可得出答案；

（2）連接PP′交QC于E，當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時(shí)，得出△APE∽△ABC，=，求出AE=﹣t+4，再根據(jù)QE=AE﹣AQ，QE=QC得出﹣t+4=﹣t+2，再求t即可；

（3）由（1）知，PD=﹣t+3，與（2）同理得：QD=﹣t+4，從而求出PQ=，

在△APQ中，分三種情況討論：①當(dāng)AQ=AP，即t=5﹣t，②當(dāng)PQ=AQ，即=t，③當(dāng)PQ=AP，即=5﹣t，再分別計(jì)算即可

試題解析：

【解析】
（1）如圖甲，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H，

∵∠C=90°，

∴AC⊥BC，

∴PH∥BC，

∴△APH∽△ABC，

∴=，

∵AC=4cm，BC=3cm，

∴AB=5cm，

∴=，

∴PH=3﹣t，

∴△AQP的面積為：

S=×AQ×PH=×t×（3﹣t）=﹣（t﹣）2+，

∴當(dāng)t為秒時(shí)，S最大值為cm2．

（2）如圖乙，連接PP′，PP′交QC于E，

當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時(shí)，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，

∴△APE∽△ABC，

∴=，

∴AE===﹣t+4

QE=AE﹣AQ═﹣t+4﹣t=﹣t+4，

QE=QC=（4﹣t）=﹣t+2，

∴﹣t+4=﹣t+2，

解得：t=，

∵0＜＜4，

∴當(dāng)四邊形PQP′C為菱形時(shí)，t的值是s；

 

（3）由（1）知，

PD=﹣t+3，與（2）同理得：QD=AD﹣AQ=﹣t+4

∴PQ===，

在△APQ中，

①當(dāng)AQ=AP，即t=5﹣t時(shí)，解得：t1=；

②當(dāng)PQ=AQ，即=t時(shí)，解得：t2=，t3=5；

③當(dāng)PQ=AP，即=5﹣t時(shí)，解得：t4=0，t5=；

∵0＜t＜4，

∴t3=5，t4=0不合題意，舍去，

∴當(dāng)t為s或s或s時(shí)，△APQ是等腰三角形．

考點(diǎn)：相似形綜合題.