Question

【題目】對于二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3和一次函數(shù)y＝﹣x+1，我們把y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）稱為這兩個函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實數(shù)，其圖象記作拋物線E．現(xiàn)有點A（1，0）和拋物線E上的點B（2，n），請完成下列任務(wù)：

（嘗試）

⑴判斷點A是否在拋物線E上；

⑵求n的值．

（發(fā)現(xiàn)）通過（1）和（2）的演算可知，對于t取任何不為零的實數(shù)，拋物線E總過定點，請你求出定點的坐標(biāo)．

（應(yīng)用）二次函數(shù)y＝﹣3x2+8x﹣5是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3和一次函數(shù)y＝﹣x+1的一個“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．

Answer 1

【答案】[嘗試]（1）點A在拋物線E上；（2）n=-1；[發(fā)現(xiàn)]：（1，0）和（2，﹣1），[應(yīng)用]：是，t=-3.

【解析】

[嘗試]（1）將x=1代入y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）計算后進行判斷；
（2）將x=2代入 y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）即可求解；

[發(fā)現(xiàn)]將拋物線E的表達式進行因式分解后，通過觀察式子特點，即可得出經(jīng)過的定點；
[應(yīng)用] 根據(jù)“再生二次函數(shù)”的定義列出等式即可求解．

解：[嘗試]（1）當(dāng)x＝1時，y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）＝0，

故點A在拋物線E上；

（2）x＝2時，n＝y＝t（x2﹣4x+3）+（1﹣t）（﹣x+1）＝﹣1；

[發(fā)現(xiàn)]

易得當(dāng)x=1時，y=0，即拋物線經(jīng)過點（1,0），

當(dāng)x=2時，y=-1，即拋物線經(jīng)過點（2，-1），

∴拋物線E總過定點（1，0）和（2，﹣1），

[應(yīng)用]是，理由：

由題意得：，

化簡并整理得：t＝﹣3．