Question

20．如圖，拋物線y=x²在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(diǎn)（橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）依次為A₁，A₂，A₃，…，A_n，…．將拋物線y=x²沿直線L：y=x向上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件：
①拋物線的頂點(diǎn)M₁，M₂，M₃，…M_n，…都在直線L：y=x上；
②拋物線依次經(jīng)過點(diǎn)A₁，A₂，A₃…A_n，…．則頂點(diǎn)M₃的坐標(biāo)為（5，5）．頂點(diǎn)M₂₀₁₅的坐標(biāo)為（4029，4029）．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線y=x²與拋物線y_n=（x-a_n）²+a_n相交于A_n，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，可得答案．

解答 解：M₁（a₁，a₁）是拋物線y₁=（x-a₁）²+a₁的頂點(diǎn)，
拋物線y=x²與拋物線y₁=（x-a₁）²+a₁相交于A₁，
得x²=（x-a₁）²+a₁，
即2a₁x=a₁²+a₁，
x=$\frac{1}{2}$（a₁+1）．
∵x為整數(shù)點(diǎn)
∴a₁=1，
M₁（1，1）；
M₂（a₂，a₂）是拋物線y₂=（x-a₂）²+a₂=x²-2a₂x+a₂²+a₂頂點(diǎn)，
拋物線y=x²與y₂相交于A₂，
x²=x²-2a₂x+a₂²+a₂，
∴2a₂x=a₂²+a₂，
x=$\frac{1}{2}$（a₂+1）．
∵x為整數(shù)點(diǎn)，
∴a₂=3，
M₂（3，3），
M₃（a₃，a₃）是拋物線y₂=（x-a₃）²+a₃=x²-2a₃x+a₃²+a₃頂點(diǎn)，
拋物線y=x²與y₃相交于A₃，
x²=x²-2a₃x+a₃²+a₃，
∴2a₃x=a₃²+a₃，
x=$\frac{1}{2}$（a₃+1）．
∵x為整數(shù)點(diǎn)
∴a₃=5，
M₃（5，5），
∴點(diǎn)M₂₀₁₅，兩坐標(biāo)為：2015×2-1=4029，
∴M₂₀₁₅（4029，4029），
故答案是：5，5；4029，4029．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，頂點(diǎn)沿直線y=x平移，找出頂點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律解題關(guān)鍵．