Question

20．如圖，線段AB上的點(diǎn)數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系：如果線段AB上有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總共有3條，如果線段AB上有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)有6條，如果線段AB上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有10條，…

（1）當(dāng)線段AB上有6個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有28條．
（2）當(dāng)線段AB上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$條．
（3）如果從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可將這個(gè)多邊形分割成2003個(gè)三角形，那么此多邊形的邊數(shù)為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB線段上分別有1個(gè)點(diǎn)、2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)，找到規(guī)律，寫出6個(gè)點(diǎn)的時(shí)候線段總數(shù)；
（2）由（1）中規(guī)律，可以總結(jié)出當(dāng)線段上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段的總條數(shù)；
（3）從三角形、四邊形、五邊形、六邊形中一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，連接對角線，求出分割的三角形，總結(jié)出一般規(guī)律，將2003代入即可求出多邊形邊數(shù)．

解答 解：（1）如果線段AB上有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總共有3條，3=$\frac{（1+1）×（1+2）}{2}$
如果線段AB上有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總共有6條，6=$\frac{（2+1）×（2+2）}{2}$
如果線段AB上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總共有10條，10=$\frac{（3+1）×（3+2）}{2}$
∴當(dāng)線段AB上有6個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有$\frac{（6+1）×（6+2）}{2}$=28
故答案為：28．

（2）由（1）中規(guī)律如下：
3=$\frac{（1+1）×（1+2）}{2}$，6=$\frac{（2+1）×（2+2）}{2}$，10=$\frac{（3+1）×（3+2）}{2}$，…28=$\frac{（6+1）×（6+2）}{2}$，…
∴當(dāng)線段AB上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，
線段總數(shù)共有：$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$．
故答案為：$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$．

（3）三角形變數(shù)為3，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)可做0條對角線，可將這個(gè)多邊形分割成0個(gè)三角形，
四邊形變數(shù)為4，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)可做1條對角線，可將這個(gè)多邊形分割成2個(gè)三角形，
五邊形變數(shù)為5，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)可做2條對角線，可將這個(gè)多邊形分割成3個(gè)三角形，
六邊形變數(shù)為6，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)可做3條對角線，可將這個(gè)多邊形分割成4個(gè)三角形，
七邊形變數(shù)為7，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)可做4條對角線，可將這個(gè)多邊形分割成5個(gè)三角形，
八邊形變數(shù)為8，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)可做5條對角線，可將這個(gè)多邊形分割成6個(gè)三角形，
…
n邊形變數(shù)為n，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)可做（n-3）條對角線，可將這個(gè)多邊形分割成（n-2）個(gè)三角形，
∴n-2=2003，
∴n=2005．
答：此多邊形的邊數(shù)為2005．

點(diǎn)評 題目考查了規(guī)律型圖形的變化，（1）（2）通過觀察總結(jié)得出規(guī)律，因此解決（3）我們也可以用同樣的方法解決類似問題，題目給學(xué)生解題的方法，是很不錯(cuò)的題目．