Question

設(shè)f：N→N是一個(gè)正整數(shù)集N的一一映射．
（1）證明存在一個(gè)由正整數(shù)a，a+d，a+2d組成的等差數(shù)列，這里d＞0，使f（a）＜f（a+d）＜f（a+2d）．
（2）一定存在一個(gè)等差數(shù)列a，a+d，…，a+2003d，這里d＞0，使f（a）＜f（a+d）＜…＜f（a+2003d）嗎？

Answer 1

分析：（1）可以采用反證法證明，假設(shè)不存在滿足要求的等差數(shù)列，由于1=f（a）＜f（a+2ⁱ），其中i是非負(fù)整數(shù)，則必有f（a+2ⁱ）＞f（a+2ⁱ⁺¹）．但f（a+1）是一個(gè)確定的正整數(shù)，且f：N→N是一個(gè)正整數(shù)集N的一一映射，從而小于f（a+1）的正整數(shù)有有限個(gè)即可得到矛盾，即可證明；
（2）構(gòu)造映射：1→1，||2→2，||4→3，3→4，||8→5，7→6，6→7，5→8，||16→9，15→10，14→11，13→12，12→13，11→14，10→15，9→16，||以象f滿足2^n-1＜f≤2ⁿ分成若干檔，其中n是非負(fù)整數(shù)．由抽屜原理知，必定在后三檔里存在某一檔至少被選擇了兩個(gè)．即可證明不一定存在滿足要求的等差數(shù)列．

解答：證明：（1）設(shè)f（a）=1，考慮a+1，a+2，a+4，a+8，a+16，a+32，，顯然其中任意相鄰兩項(xiàng)與a都構(gòu)成等差數(shù)列，在這些等差數(shù)列中，必存在一個(gè)滿足要求．這是因?yàn)椋?BR>假設(shè)不存在滿足要求的等差數(shù)列．由于1=f（a）＜f（a+2ⁱ），其中i是非負(fù)整數(shù)，則必有f（a+2ⁱ）＞f（a+2ⁱ⁺¹）．
即f（a+1）＞f（a+2）＞f（a+4）＞f（a+8）＞f（a+16）＞f（a+32）＞．但f（a+1）是一個(gè)確定的正整數(shù)，且f：N→N是一個(gè)正整數(shù)集N的一一映射，從而小于f（a+1）的正整數(shù)有有限個(gè)，故在f（a+2^j）中必存在某一個(gè)f（a+2^k），滿足f（a+1）＞＞f（a+2^k-1）且f（a+2^k）＞f（a+1），其中j，K∈N．則f（a）＜f（a+2^k-1）＜f（a+2^k），這時(shí)公差d=2^k-1的等差數(shù)列a，a+2^k-1，a+2^k滿足要求．矛盾！
（2）不一定存在．
構(gòu)造映射：1→1，||2→2，||4→3，3→4，||8→5，7→6，6→7，5→8，||16→9，15→10，14→11，13→12，12→13，11→14，10→15，9→16，||以象f滿足2^n-1＜f≤2ⁿ分成若干檔，其中n是非負(fù)整數(shù)．上述映射中“||”為分檔線．
設(shè)f（a+2003d）在第i檔，而第i檔的最大的象是2^i-1．分析各檔里象的情況如下：

由于第i-1檔里象的個(gè)數(shù)為2^i-2-2^i-3=2^i-3，又每檔里最多只能選擇一個(gè)，否則將出現(xiàn)f（a+id）＞f（a+（i+1）d），故d＞2^i-4．從而前i-3檔里最多只能選擇一個(gè)．故總共最多只能選擇四個(gè)．
倘若從中選擇五個(gè)及五個(gè)以上，由抽屜原理知，必定在后三檔里存在某一檔至少被選擇了兩個(gè)．
因此題設(shè)中的映射不一定存在滿足要求的等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反證法，以及抽屜原理，正確構(gòu)造映射是證明的關(guān)鍵．