Question

1．如圖，如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，點F為BC邊上的一點，將△ABF沿AF翻折得△AEF，且點E恰好在對角線AC上．以EF、EC為邊做平行四邊形EFGC，并將其沿線段CA以每秒1cm的速度運動，記運動中的平行四邊形為E′F′G′C′，運動時間為t，當點C′到點A時停止運動．
（1）tan∠BAF=$\frac{1}{2}$，S_矩形EFGC=12cm²；（直接填空）
（2）記運動過程中平行四邊形E′F′G′C′與△AFC的重疊部分為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及對應(yīng)的t的取值范圍；
（3）設(shè)運動過程中線段AF與E′F′交與點H，AH=x，是否存在這樣的x，使得△HFC′為直角三角形？若有，直接寫出x的值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)和勾股定理得出AC=10cm，由翻折變換的性質(zhì)得出△AEF≌△ABF，得出AE=AB=6cm，EF=BF，∠AEF=∠B=90°，CE=AC-AE=4cm，設(shè)BF=EF=xcm，則CF=（8-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程得出BF=EF=3cm，即可得出tan∠BAF=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，S_矩形EFGC=EF×CE=12（cm²）；
（2）分兩種情況：①當0≤t＜4時，證出△AHE′∽△AFE，得出比例式求出HE′=3-$\frac{1}{2}$t，同理：C′M=$\frac{3}{4}$t，則S=△AFC的面積-△AHE′的面積-△CMC′的面積，即可得出結(jié)果；
②當4≤t≤6時，同①得出HE′=3-$\frac{1}{2}$t，C′M=5-$\frac{1}{2}$t，得出S=16-2t；
（3）由勾股定理得出AF=3$\sqrt{5}$，由平行線得出比例式求出HF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10cm，
由翻折變換的性質(zhì)得：△AEF≌△ABF，
∴AE=AB=6cm，EF=BF，∠AEF=∠B=90°，
∴∠CEF=90°，
∴CE=AC-AE=4cm，
設(shè)BF=EF=xcm，則CF=（8-x）cm，
由勾股定理得：EF²+CE²=CF²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴BF=EF=3cm，
∴tan∠BAF=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_矩形EFGC=EF×CE=3×4=12（cm²）；
故答案為：$\frac{1}{2}$，12cm²；
（2）分兩種情況：
①當0≤t＜4時，如圖1所示：
∵HE′∥EF，
∴△AHE′∽△AFE，
∴$\frac{HE′}{EF}=\frac{AE′}{AE}$，
即$\frac{HE′}{3}=\frac{6-t}{6}$，
∴HE′=3-$\frac{1}{2}$t，
同理：C′M=$\frac{3}{4}$t，
∴S=△AFC的面積-△AHE′的面積-△CMC′的面積=$\frac{1}{2}$×10×3-$\frac{1}{2}$×（6-t）×（3-$\frac{1}{2}$t）-$\frac{1}{2}$×t×$\frac{3}{4}$t=-$\frac{5}{8}$t²+3t+6，
即S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=-$\frac{5}{8}$t²+3t+6（0≤t＜4）；
②當4≤t≤6時，如圖2所示：
同①得：HE′=3-$\frac{1}{2}$t，C′M=5-$\frac{1}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{2}$t+5-$\frac{1}{2}$t）×4=16-2t，
即S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=-2t+16（4≤t≤6）；
（3）存在，t=$\frac{5}{2}$，理由如下：
由勾股定理得：AF=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵HE′∥EF，
∴$\frac{HF}{AF}=\frac{EE′}{AE}$，
即$\frac{HF}{3\sqrt{5}}=\frac{t}{6}$，即HF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，
∵FC′²=3²+（4-t）²，HC′²=4²+（3-$\frac{1}{2}$t）²，
若△HFC′為直角三角形，
則∠HFC′=90°，
∴HF²+FC′²=HC′²，
即（$\frac{\sqrt{5}}{2}$t）²+3²+（4-t）²=4²+（3-$\frac{1}{2}$t）²，
解得：t=$\frac{5}{2}$，或t=0（不合題意，舍去），
∴△HFC′為直角三角形時，t=$\frac{5}{2}$．

點評 本題是幾何變換綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形和梯形面積的計算等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（2）中，需要進行分類討論才能得出結(jié)果．