Question

已知：關(guān)于x的方程x²+（2k-1）x-2k-1=0．
（1）求證：無論k取何值，關(guān)于x的方程 x²+（2k-1）x-2k-1=0都有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）若此方程有一根為-1，求k的值及方程的另一個根．

Answer 1

考點：根的判別式,一元二次方程的解,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）根據(jù)△=（2k-1）²-4×1×（-2k）=4k²+1＞0，即可得出無論k取何值，關(guān)于x的方程 x²+（2k-1）x-2k-1=0都有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）把x=-1代入原方程得出（-1）²-（2k-1）-2k-1=0，求出k=

1

4

，再設(shè)方程的另一個根為x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出-x₂=-2×

1

4

-1再計算即可．

解答：證明：（1）∵△=（2k-1）²-4×1×（-2k）=4k²+1，k²≥0，
∴4k²+1＞0，
∴無論k取何值，關(guān)于x的方程 x²+（2k-1）x-2k-1=0都有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若此方程有一根為-1，
則（-1）²-（2k-1）-2k-1=0，
解得：k=

1

4

，
設(shè)方程的另一個根為x₂，則-x₂=-2×

1

4

-1，
x₂=

3

2

．

點評：本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．