Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是a秒（0＜a≤20）．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．

（1）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的a值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）能，當(dāng)t=秒時(shí)，四邊形AEFD為菱形；（2）當(dāng)t=16或10秒時(shí)，△DEF為直角三角形，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）能．首先證明四邊形AEFD為平行四邊形，當(dāng)AE=AD時(shí)，四邊形AEFD為菱形，即40-4t=2t，解方程即可解決問(wèn)題；
（2）分三種情形討論即可．

（1）證明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t，
又∵AE=t，
∴AE=DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE=DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形，
當(dāng)AE=AD時(shí)，四邊形AEFD為菱形，
即40-2t=t，解得t= ．
∴當(dāng)t=秒時(shí)，四邊形AEFD為菱形．
（2）①當(dāng)∠DEF=90°時(shí)，由（1）知四邊形AEFD為平行四邊形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
∵∠A=60°，
∴∠AED=30°，
∴AD=AE=，
又AD=40-2t，即40-2t=，解得t=16；
②當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形，在Rt△AED中∠A=60°，則∠ADE=30°，
∴AD=2AE，即40-2t=2t，解得t=10．
③若∠EFD=90°，則E與B重合，D與A重合，此種情況不存在．
綜上所述，當(dāng)t=16或10秒時(shí)，△DEF為直角三角形．