【題目】如圖所示,線段AC是⊙O的直徑,過(guò)A點(diǎn)作直線BF交⊙O于A、B兩點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)作∠FAC的角平分線交⊙O于D,過(guò)D作AF的垂線交AF于E.
(1)證明DE是⊙O的切線;
(2)證明AD2=2AEOA;
(3)若⊙O的直徑為10,DE+AE=4,求AB.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)8
【解析】
(1)連接OD,由,即可證明
(2)連接CD,根據(jù)已知條件證明△ACD∽△ADE即可求解.
(3)過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M,則四邊形ODEM為矩形,設(shè)DE=OM=x則AE=4﹣x,AM=5-(4﹣x)=1+x,在Rt△AMO中,OA2=AM2+OM2列出方程求解x再利用垂徑定理即可求解.
(1)證明:連接OD,
∵
∴
∵AD平分
∴
∴
∴AF∥OD
又∵
∴DE為⊙O切線;
(2)證明:連接CD.
∵AC為⊙O的直徑,DE⊥AF
∴∠ADC=90°,∠DEA=90°,
∴∠ADC=∠AED,
∴在△ACD和△ADE中,∠DAC=∠EAD,∠ADC=∠AED,
∴△ACD∽△ADE,
∴AD2=AEAC.
∵AC=2OA,
∴AD2=2AEOA;
(3)過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M,則四邊形ODEM為矩形,設(shè)DE=OM=x,則AE=4﹣x,
∴AM=5﹣(4﹣x)=1+x,
在Rt△AMO中,OA2=AM2+OM2,即:(1+x)2+x2=52
解得:x1=3,x2=﹣4(舍去).
∴AM=4.
∵OM⊥AB,由垂徑定理得:AB=2AM=8.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)()的圖象交于,兩點(diǎn).
(1)求的值;
(2)求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(3)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,與直線和函數(shù)()的圖象的交點(diǎn)分別為點(diǎn),,當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí),寫(xiě)出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖1是無(wú)障礙通道,圖2是其截面示意圖,已知坡角∠BAC=30°,斜坡AB=4m,∠ACB=90°.現(xiàn)要對(duì)坡面進(jìn)行改造,使改造后的坡角∠BDC=26.5°,需要把水平寬度AC增加多少m(結(jié)果精確到0.1)?(參考數(shù)據(jù):≈1.73,sin26.5°≈0.45,cos26.5°≈0.90,tan26.5°≈0.50)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)A和C分別在x軸、y軸的正半軸上,且AB∥y軸,AB=4,△ABC的面積為2,將△ABC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBE,一反比例函數(shù)圖象恰好過(guò)點(diǎn)D時(shí),則此反比例函數(shù)解析式是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Q為正方形ABCD外一點(diǎn),連接BQ,過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥BQ,垂足為Q,G、K分別為AB、BC上的點(diǎn),連接AK、DG,分別交BQ于F、E,AK⊥DG,垂足為點(diǎn)H,AF=5,DH=8,F為BQ中點(diǎn),M為對(duì)角線BD的中點(diǎn),連接HM并延長(zhǎng)交正方形于點(diǎn)N,則HN的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1的方格紙中有線段AB和CD,點(diǎn)A、B、C、D均在小正方形的頂點(diǎn)上.
(1)畫(huà)出一個(gè)以AB為一邊的△ABE,點(diǎn)E在小正方形的頂點(diǎn)上,且∠BAE=45°,△ABE的面積為;
(2)畫(huà)出以CD為一腰的等腰△CDF,點(diǎn)F在小正方形的頂點(diǎn)上,且△CDF的面積為;
(3)在(1)、(2)的條件下,連接EF,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段EF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線交軸于點(diǎn),,交軸的負(fù)半軸于,頂點(diǎn)為.下列結(jié)論:①;②;③當(dāng)時(shí),;④當(dāng)是等腰直角三角形時(shí),則;⑤若,是一元二次方程的兩個(gè)根,且,則.其中錯(cuò)誤的有( )個(gè).
A.5B.4C.3D.2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的紙片,點(diǎn)與原點(diǎn)重合,點(diǎn)在軸的正半軸上,點(diǎn)在軸的正半軸上.已知,.將紙片的直角部分翻折,使點(diǎn)落在邊上,記為點(diǎn),為折痕,點(diǎn)在軸上.
(1)在如圖所示的直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,________,________;
(2)線段上有一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn),重合)自點(diǎn)沿方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),求四邊形的面積與時(shí)間之間的函數(shù)表達(dá)式.當(dāng)取何值時(shí),有最大值?最大值是多少?
(3)當(dāng)為何值時(shí),,,三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰三角形?并求出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分線,∠ABC的平分線 BM交AE于點(diǎn)M,點(diǎn)O在AB上,以點(diǎn)O為圓心,OB的長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)G,交 AB于點(diǎn)F.
(1)求證:AE為⊙O的切線.
(2)當(dāng)BC=8,AC=12時(shí),求⊙O的半徑.
(3)在(2)的條件下,求線段BG的長(zhǎng).
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