Question

（2012•海門(mén)市模擬）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，BD=1，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足AE+CF=1，設(shè)△BEF的面積為s，則s的取值范圍是（　�。�

• A．

  1

  4

  ≤s≤1
• B．

  3 3

  4

  ≤s≤

  3

• C．

  3 3

  16

  ≤s≤

  3

  4

• D．

  3 3

  8

  ≤s≤

  3

  2

Answer 1

分析：利用菱形的性質(zhì)和正三角形的特點(diǎn)可證得△BDE≌△BCF；繼而可得△BEF為正三角形，然后作出恰當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，構(gòu)成直角三角形，根據(jù)直角三角形的特點(diǎn)和三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可求得答案．

解答：解：菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，BD=1，
∴△ABD和△BCD都為正三角形，
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=1，而AE+CF=1，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，

DE=CF ∠BDE=∠C BD=BC

，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF為正三角形；
設(shè)BE=BF=EF=x，
則S=

1

2

•x•x•sin60°=

3

4

x²，
當(dāng)BE⊥AD時(shí)，x最小為：1×sin60°=

3

2

，
∴S_最小=

3

4

×（

3

2

）²=

3 3

16

，
當(dāng)BE與AB重合時(shí)，x最大，
∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，
∴AB=1，
∴x最大為1，
∴S_最大=

3

4

×1²=

3

4

，
∴

3 3

16

≤s≤

3

4

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積問(wèn)題．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．