Question

2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=$\frac{5}{13}$，BC=26．求cos∠DAC的值和腰長(zhǎng)CD．

Answer 1

分析 解Rt△ABC求出AB，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠DAC=∠ACB，利用余弦函數(shù)定義求出cos∠ACB即可得到cos∠DAC的值；過(guò)D作DE⊥AC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AE=EC=12，根據(jù)cos∠DAC=$\frac{12}{13}$即可求出腰長(zhǎng)CD．

解答 解：∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵在Rt△ABC中，cosB=$\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13}$，BC=26，
∴AB=10，
∴$AC=\sqrt{B{C^2}-A{B^2}}=\sqrt{{{26}^2}-{{10}^2}}=24$．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴cos∠DAC=cos∠ACB=$\frac{AC}{BC}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13}$；
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCE，AE=EC=$\frac{1}{2}$AC=12，
在Rt△CDE中，cos∠DCE=cos∠DAC=$\frac{CE}{DC}=\frac{12}{13}$，
∴DC=$\frac{13EC}{12}$=13．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，能正確解直角三角形是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．