Question

【題目】如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．

（1）求證：四邊形BFEP為菱形；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)；

①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖2），求菱形BFEP的邊長(zhǎng)；

②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動(dòng)，求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①②2cm

【解析】試題分析：（1）利用定理:四條邊都相等的四邊形是菱形，證明四邊形BFEP為菱形；

(2)①在直角三角形APE中，根據(jù)勾股定理求出EP=

②分兩種情況討論：第一：點(diǎn)Q和點(diǎn)C重合；第二：點(diǎn)P和點(diǎn)A重合

試題解析：（1）∵折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處，折痕為PQ

∴點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱

∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF

又∵EF∥AB

∴∠BPF=∠EFP

∴∠EPF=∠EFP

∴EP=EF

∴BP=BF=FE=EP

∴四邊形BFEP為菱形.

（2）①如圖2

∵四邊形ABCD是矩形

∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°

∵點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱

∴CE="BC=5cm"

在RtΔCDE中，DE2=CE2-CD2，即DE2=52-32

∴DE=4cm

∴AE=AD-DE=5cm-4cm=1cm

在RtΔAPE中，AE=1，AP=3-PB=3-PE

∴EP2=12+（3-EP）2，解得：EP=cm.

∴菱形BFEP的邊長(zhǎng)為cm.

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖2，點(diǎn)E離A點(diǎn)最近，由①知，此時(shí)AE=1cm.

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖3.點(diǎn)E離A點(diǎn)最遠(yuǎn)，此時(shí)，四邊形ABQE是正方形.

AE=AB=3cm

∴點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離為2cm.