Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1）、B（3，5），以AB為邊作如圖所示的正方形ABCD，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)D，P為拋物線上的一動點(diǎn)．

（1）直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）求點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到x軸的距離之差；

（4）當(dāng)點(diǎn)P位于何處時，△APB的周長有最小值，

并求出△APB的周長的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）D（－4，4）…………………………………………… (2分)

    （2）設(shè)拋物線的解析式是y＝ax² …………………………………………… (3分)

         過點(diǎn)D（－4，4），a＝，∴y＝x² ………………………………… (4分)

（3）設(shè)點(diǎn)P（t，t²），作PH⊥x軸于H，則PH＝t²…………………… (5分)

     另PA＝＝t²＋1……………………………………… (6分)

     故點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到x軸的距離之差為1. ………………… (7分)

（4）即使PB＋PA最小，而PA＝PH＋1，…………………………………(8分)

作BE⊥x軸于E，與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P ………………………… (9分)

此時P（3，）………………………………………………………… (10分)

則PB＋PA＝PB＋PH＋1＝BE＋1＝5＋1＝6

         △APB的周長的最小值＝5＋6＝11.……………………………………(11分)

【解析】(1)利用正方形鄰邊垂直且相等可得出D點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）由于拋物線的對稱軸是y軸，故拋物線的解析式是設(shè)為y＝ax²，然后把D點(diǎn)坐標(biāo)代入求得；

（3）利用勾股定理兩線段的長度，然后求它們的差；

（4）利用（3）得出的結(jié)論得出P點(diǎn)的坐標(biāo)以及周長。