Question

5．已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為頂點(diǎn)且△ABC的是直角三角形，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2），直線y=kx+b經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線和直線的函數(shù)解析式；
（2）求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)△ABC的是直角三角形，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2），可以求得OA、OC、AC的長(zhǎng)，根據(jù)△AOC∽△ACB，可以求得AB的長(zhǎng)，從而可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，由拋物線過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)可以求得拋物線的解析式；根據(jù)直線過(guò)點(diǎn)A、C可以求得直線的解析式．
（2）由圖可得，四邊形ABCD的面積可以轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟆鰽BC和△ACD的面積之和，根據(jù)前面的條件可以求得這兩個(gè)三角形的面積，從而可以解答本題．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為頂點(diǎn)且△ABC的是直角三角形，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2），
∴OA=4，OC=2，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{20}$=$2\sqrt{5}$，∠OAC=∠CAB，∠AOC=∠ACB，
∴△AOC∽△ACB，
∴$\frac{OA}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
即$\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{AB}$，
解得，AB=5，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），
∵點(diǎn)A（-4，0），B（1，0），C（0，-2）在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$
解得，a=0.5，b=1.5，c=-2，
即拋物線的函數(shù)解析式是：y=0.5x²+1.5x-2；
∵直線y=kx+b經(jīng)過(guò)A（-4，0），C（0，-2）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$
解得，k=-0.5，b=-2，
即直線的函數(shù)解析式為：y=-0.5x-2．
由上可得，拋物線的函數(shù)解析式是：y=0.5x²+1.5x-2，直線的函數(shù)解析式為：y=-0.5x-2．
（2）∵y=0.5x²+1.5x-2=$0.5（x+\frac{3}{2}）^{2}-\frac{25}{8}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}，-\frac{25}{8}$），
∴點(diǎn)D到直線AC的距離為：$\frac{|-0.5×（-\frac{3}{2}）-（-\frac{25}{8}）-2|}{\sqrt{（-0.5）^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{5×2}{2}+\frac{2\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{5}}{4}}{2}=\frac{35}{4}$，
即四邊形ABCD的面積是$\frac{35}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件可以找到求函數(shù)解析式需要的條件，利用數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的思想將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)三角形的面積之和．