Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF．
（1）求證：AF=BD；
（2）要使四邊形AFBD是正方形，△ABC應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）∵D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，
∴BD=CD，AE=DE（中點(diǎn)定義），
又AF∥BC（已知），
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），
∴AF=BD（等量代換）；

（2）當(dāng)△ABC為等腰直角三角形，且∠BAC=90°時(shí)，四邊形AFBD是正方形，理由如下：
∵AF=BD，AF∥BC，
∴四邊形AFBD為平行四邊形，
又∵等腰直角三角形ABC，且D為BC的中點(diǎn)，
∴AD=BD，∠ABD=90°，
∴四邊形AFBD為正方形．
分析：（1）由D和E分別為BC及AD的中點(diǎn)，根據(jù)線段中點(diǎn)定義可得BD=CD，AE=DE，再由AF與BC平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得兩對(duì)角相等，利用AAS可得三角形AEF與三角形DCE全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CD，等量代換可得證；
（2）當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，四邊形AFBD是正方形，理由為：由第一問(wèn)證得的AF=BD，且AF與BD平行，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可得四邊形AFBD為平行四邊形，若三角形ABC為等腰直角三角形，D為斜邊BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=BD，且根據(jù)三線合一得到AD與BC垂直，可得平行四邊形的鄰邊相等且有一個(gè)角為直角，即可判定出四邊形AFBD為正方形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正方形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其中全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，以及HL（直角三角形），常常利用這些方法來(lái)解決三角形的邊或角的相等問(wèn)題．