Question

5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c分別交 x軸于A（4，0）、B（1，0），交y軸于點C（0，-3），過點A的直線$y=-\frac{3}{4}x+3$交拋物線與另一點D．
（1）求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo)；
（2）若點P為x軸上的一個動點，點Q在線段AC上，且Q點到x軸的距離為$\frac{9}{5}$，連接PC、PQ，當(dāng)△PCQ周長最小時，求出點P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，在（2）的結(jié)論下，連接PD，在平面內(nèi)是否存在△A₁P₁D₁，使△A₁P₁D₁≌△APD（點A₁、P₁、D₁的對應(yīng)點分別是A、P、D，A₁P₁平行于y軸，點P₁在點A₁上方），且△A₁P₁D₁的兩個頂點恰好落在拋物線上？若存在，請求出點A₁的橫坐標(biāo)m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）邊A、B、C三點坐標(biāo)代入解方程組即可．
（2）求出點Q坐標(biāo)，作點Q關(guān)于x軸的對稱點Q′，連接CQ′交x軸于點P，此時△PCQ周長最小，求出直線CQ′即可解決問題．
（3）分類討論①當(dāng)P₁、D₁在拋物線上時，由A₁P₁∥y軸，故不存在．②當(dāng)P₁、D₁在拋物線上時，設(shè)P₁（t，$\frac{3}{4}{t}^{2}$-$\frac{9}{4}$t-3）則D₁（t+$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{4}$t）或（t-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{4}$t）列出方程即可解決．③當(dāng)A₁、D₁在拋物線上時，設(shè)A₁（（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3）則D₁（m+$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m+3）或（m-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m+3），列出方程即可解決．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{16a+4b+c=0}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{9}{4}}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
所以拋物線解析式為y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{9}{4}x-3}\\{y=-\frac{3}{4}x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，所以點D坐標(biāo)為（-2，$\frac{9}{2}$）．
（2）∵直線AC為y=$\frac{3}{4}$x-3，y_Q=-$\frac{9}{5}$，
∴點Q坐標(biāo)為（$\frac{8}{5}$，-$\frac{9}{5}$），點Q關(guān)于x軸的對稱點Q′（$\frac{8}{5}$，$\frac{9}{5}$），連接CQ′交x軸于點P，此時△PCQ周長最小，
∵直線CQ′為y=3x-3，
∴直線CQ′與x軸的交點P為（1，0）．
（3）當(dāng)A₁、P₁在拋物線上時，由A₁P₁∥y軸，故不存在．
當(dāng)P₁、D₁在拋物線上時，設(shè)P₁（t，$\frac{3}{4}{t}^{2}$-$\frac{9}{4}$t-3）則D₁（t+$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{4}$t）或（t-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{4}$t）．
∴$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{4}$t=$\frac{3}{4}$（t+$\frac{9}{2}$）²-$\frac{9}{4}$（t+$\frac{9}{2}$）-3，解得t=-$\frac{11}{36}$，此時m=t=-$\frac{11}{36}$，
或$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{4}$t=$\frac{3}{4}$（t-$\frac{9}{2}$）²-$\frac{9}{4}$（t-$\frac{9}{2}$）-3，解得t=$\frac{119}{36}$，此時m=t=$\frac{119}{36}$，
當(dāng)A₁、D₁在拋物線上時，設(shè)A₁（（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3）則D₁（m+$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m+3）或（m-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m+3）．
∴$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m+3=$\frac{3}{4}$（m+$\frac{9}{2}$）²-$\frac{9}{4}$（m+$\frac{9}{2}$）-3，解得m=$\frac{5}{36}$，
或$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m+3=$\frac{3}{4}$（m-$\frac{9}{2}$）²-$\frac{9}{4}$（m-$\frac{9}{2}$）-3，解得m=$\frac{103}{36}$．

點評 本題考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)，全等三角形的性質(zhì)，軸對稱-最小值問題，學(xué)會分類討論，用轉(zhuǎn)化的思想解決問題，屬于中考壓軸題．