Question

8．若一個函數(shù)的解析式等于另兩個函數(shù)解析式的和，則這個函數(shù)稱為另兩個函數(shù)的“生成函數(shù)”．現(xiàn)有關(guān)于x的兩個二次函數(shù)y₁，y₂，且y₁=a（x-m）²+4（m＞0），y₁，y₂的“生成函數(shù)”為：y=x²+4x+14；當(dāng)x=m時，y₂=15；二次函數(shù)y₂的圖象的頂點坐標(biāo)為（2，k）．
（1）求m的值；
（2）求二次函數(shù)y₁，y₂的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知新定義和當(dāng)x=m時，y₂=15得出15=m²-a（m-m）²+4m+10，求出即可；
（2）把m的值代入函數(shù)y₂，根據(jù)頂點的橫坐標(biāo)即可求出a，再把a的值代入求出即可．

解答 解：（1）∵y₁=a（x-m）²+4（m＞0），y₁，y₂的“生成函數(shù)”為：y=x²+4x+14；
∴y₂=x²+4x+14-a（x-m）²-4=x²-a（x-m）²+4x+10，
∵當(dāng)x=m時，y₂=15，
∴15=m²-a（m-m）²+4m+10，
解得：m₁=1，m₂=-5（不合題意舍去）；

（2）由（1）得：y₂=x²-a（x-1）²+4x+10=（1-a）x²+（2a+4）x-a+10，
∵二次函數(shù)y₂的圖象的頂點坐標(biāo)為（2，k）．
∴-$\frac{2a+4}{2（1-a）}$=2，
解得：a=4，
∴y₁=4（x-1）²+4，y₂=-3x²+12x+6．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的解析式的應(yīng)用，能讀懂題意是解此題的關(guān)鍵，題目比較典型，有一定的難度．