Question

11．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，D為拋物線的頂點．
（1）求∠BCD的度數(shù)；
（2）點P為拋物線上一點，且△PAC是直角三角形，點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)拋物線y=-x²+2x+3求出拋物線與x軸交點A、B兩點坐標(biāo)，與y軸交點C，以及拋物線的頂點D的坐標(biāo)，再根據(jù)直角坐標(biāo)系中兩點間距離公式求出△BCD三邊的長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形，從而求出∠BCD=90°；
（2）根據(jù)點P為拋物線上一動點，且△PAC是直角三角形，分情況討論：①∠PCA=90°，根據(jù)直角坐標(biāo)系中兩直線垂直其斜率（k值）互為負(fù)倒數(shù)，先求出直線PC的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+3，再利用解析式聯(lián)立方程組求交點坐標(biāo)的方法求出點P坐標(biāo)；②∠PAC=90°，方法同①；③根據(jù)題意可知∠APC≠90°．故點P的坐標(biāo)有兩種情況：（$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）或（$\frac{10}{3}$，$-\frac{13}{9}$）．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，即A（-1，0）；B（3，0）；
當(dāng)x=0時，y=3，即C（0，3）；
拋物線y=-x²+2x+3的頂點坐標(biāo)為D（1，4）；
∵DC=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$
BC=$\sqrt{（3-0）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{18}$
BD=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-4）^{2}}$=$\sqrt{20}$
∴DC²+BC²=BD²
∴∠BCD=90°；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把點A，C代入得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故直線AC的解析式為：y=3x+3
①若∠PCA=90°，則PC⊥AC，所以直線PC的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x+3，
y=-$\frac{1}{3}$x+3與y=-x²+2x+3聯(lián)立方程組得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+3}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$ （舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{7}{3}}\\{{y}_{2}=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$
∴P（$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）
②若∠PAC=90°，則PA⊥AC，所以直線PA的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x+n
把點A（-1，0）代入得n=-$\frac{1}{3}$．
故y=-$\frac{1}{3}$x$-\frac{1}{3}$
y=-$\frac{1}{3}$x$-\frac{1}{3}$與y=-x²+2x+3聯(lián)立方程組得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$ （舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{10}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{13}{9}}\end{array}\right.$
故P（$\frac{10}{3}$，$-\frac{13}{9}$）
③根據(jù)題意可知∠APC≠90°．
綜上可知點P的坐標(biāo)為（$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）或（$\frac{10}{3}$，$-\frac{13}{9}$）．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的圖象上一些特殊點的求法即應(yīng)用．第（1）問根據(jù)直角坐標(biāo)系中兩點間距離公式AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$求線段的長度，再利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解決此類問題的關(guān)鍵；第（2）問根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求動點坐標(biāo)，若題目中沒有給定直角應(yīng)該分情況討論．利用直角坐標(biāo)系中兩直線垂直其斜率（k值）互為負(fù)倒數(shù)的方法求直線解析式的方法要掌握，可以簡化計算．