(2005•濰坊)如圖,AD是△ABC的角平分線,延長AD交△ABC的外接圓O于點E,過C、D、E三點的圓O1交AC的延長線于點F,連接EF、DF.
(1)求證:△AEF∽△FED;
(2)若AD=6,DE=3,求EF的長;
(3)若DF∥BE,試判斷△ABE的形狀,并說明理由.

【答案】分析:(1)可通過證兩組對應(yīng)角相等來證兩三角形相似.
(2)根據(jù)(1)中得出的相似三角形即可得出AE,DE,EF這三條線段的比例關(guān)系,有了AD,DE的長,即可求出EF的值.
(3)可通過證角的關(guān)系來得出三角形的形狀.
解答:(1)證明:連接兩圓的相交弦CE,
在圓O1中,∠EFD=∠DCE,
在圓O中,∠BAE=∠DCE,
∴∠EFD=∠BAE.
∵AE是∠BAC角平分線,
∴∠BAE=∠CAE.
∴∠CAE=∠EFD.
∵∠AEF=∠FED,
∴△AEF∽△FED.

(2)解:∵△AEF∽△FED,

∴EF2=AE•DE=(AD+DE)•DE=(6+3)×3=27,
∴EF=3

(3)解:△ABE為等腰三角形.理由如下:
∵ABCE是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠FCE=∠ABE.
∵DF∥BE,∠FDE=∠AEB,
又∵∠FCE=∠EDF,
∴∠AEB=∠ABE.
∴△ABE為等腰三角形.
點評:本題主要考查了圓周角定理,相似三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)等知識點.根據(jù)圓周角得出相關(guān)的角相等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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