Question

如圖l，已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點O和x軸上另一點D，頂點的坐標(biāo)為（2，4）．直角三角形ABC的頂點A與點O重合，AC，AB分別在x軸，y軸上，且AC=3，AB=4．
（1）直線BC的解析式為

y=

4

3

x+4

；
（2）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）將直角三角形ABC以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動，設(shè)它們運動的時間為t秒（0≤t≤2），AB邊與該拋物線的交點為Q（如圖2所示）．
①設(shè)△CPQ的面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；
②直接寫出直線BC與拋物線有唯一的公共點時t的值．

Answer 1

分析：（1）首先求出B，C點坐標(biāo)，再求直線BC的解析式；
（2）根據(jù)頂點式直接求出拋物線解析式即可；
（3）①根據(jù)題意得出P，Q點坐標(biāo)，進(jìn)而得出PQ的長，即可得出△CPQ的面積，再利用配方法得出最值；
②根據(jù)當(dāng)直線BC與拋物線有唯一的公共點時，設(shè)此時直線解析式為：y=

4

3

x+d，得出

4

3

x+d=-x²+4x整理后方程為：x²-

8

3

x+d=0此時方程有兩個相等的實數(shù)根，
進(jìn)而得出d的值，即可得出圖象與x軸交點坐標(biāo)，即可得出移動距離．

解答：解：（1）∵直角三角形ABC的頂點A與點O重合，AC，AB分別在x軸，y軸上，且AC=3，AB=4，
∴C，B坐標(biāo)分別為：C（-3，0），B（0，4），
設(shè)BC直線解析式為：y=ax+b則：

b=4 -3a+b=0

，
解得：

a= 4 3 b=4

，
∴y=

4

3

x+4；
故答案為：y=

4

3

x+4；

（2）∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，4），
∴設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-2）²+4，
∵拋物線過原點，
∴0=4a+4，
解得：a=-1，
∴該拋物線的解析式為：y=-（x-2）²+4，即y=-x²+4x；

（3）①由題意得出點P的坐標(biāo)為：（t，t），點Q的坐標(biāo)為：（t，-t²+4t），
∴PQ=-t²+4t-t=-t²+3t，
∴△CPQ的面積為
S=

1

2

PQ•AC
=

1

2

×3×（-t²+3t）
=-

3

2

（t²-3t）
=-

3

2

（t-

3

2

）²+

27

8

∴S存在最大值，最大值是

27

8

．

②當(dāng)直線BC與拋物線有唯一的公共點時，
設(shè)此時直線解析式為：y=

4

3

x+d，
∴

4

3

x+d=-x²+4x整理后方程為：x²-

8

3

x+d=0此時方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴b²-4ac=

64

9

-4×1×d=0，
解得：d=

16

9

，
∴此時BC所在直線解析式為：y=

4

3

x+

16

9

，
∴y=0時，x=-

4

3

，
∴C點從（-3，0）到（-

4

3

，0）移動了

5

3

個單位長度，
∴直線BC與拋物線有唯一的公共點時t的值為：

5

3

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及配方法求最值以及根的判別式和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．