(2002•湘西州)如圖,在直角坐標(biāo)系中,以x軸上一點(diǎn)P(1,0)為圓心的圓與x軸、y軸分別交于A、B、C、D四點(diǎn),連接CP,∠APC=60度.
(1)求⊙P的半徑R;
(2)求A、B、D三點(diǎn)坐標(biāo);
(3)若過弧CB的中點(diǎn)Q作⊙P的切線MN交x軸于M,交y軸于N,求直線MN的解析式.

【答案】分析:(1)由圖可知⊙P的半徑就是CP的長(zhǎng),直角三角形OPC中,有P點(diǎn)的坐標(biāo),也就有了PO的長(zhǎng),又已知了∠OPC的度數(shù),因此根據(jù)三角形函數(shù)的知識(shí)可以求出CP的長(zhǎng).
(2)有了圓心P的坐標(biāo),有了半徑的長(zhǎng),就有了AP,PB的長(zhǎng).根據(jù)P的坐標(biāo)我們可以知道OP的長(zhǎng),那么OA和OB的長(zhǎng)就可以求出來了,據(jù)此可得出A、B的坐標(biāo),在直角三角形OCP中,有OP,PC的長(zhǎng),那么OC的長(zhǎng)可以根據(jù)勾股定理求出,根據(jù)垂徑定理,OD=OC,因此D點(diǎn)的坐標(biāo)也就求出來了.
(3)本題的關(guān)鍵是求出ON,OM的長(zhǎng),連接PQ后,根據(jù)Q是BC弧的中點(diǎn),那么∠CPQ=∠MPQ=60°,因此∠PMQ=30°,MP=2R,(1)中已經(jīng)求出了R的值,那么MP的值就能求出來了,有P點(diǎn)的坐標(biāo),因此可以得出OP的值進(jìn)而求出OM的長(zhǎng),直角三角形OMN中,∠OMN=30°,MN=2ON,又知道了OM的長(zhǎng),可以根據(jù)勾股定理求出ON的長(zhǎng),有了OM,ON的長(zhǎng),M,N的坐標(biāo)就可以確定,根據(jù)M、N的坐標(biāo)用待定系數(shù)法就能求出MN所在直線的解析式.
解答:解:(1)在Rt△POC中,∠APC=60°,
∴∠PCO=30°,PC=2PO=2,
∴⊙P的半徑R是2.

(2)∵AP=BP=2,OA=PA-PO=2-1=1,
∴A(-1,0)、B(3,0),

∴D(0,).

(3)連接PQ,
∵Q是的中點(diǎn),∠APC=60°,∴∠CPQ=∠BPQ=60°.
∵M(jìn)N切⊙P于Q,
∴PQ⊥MN.
在Rt△PQM中,∠PMQ=30°PM=2PQ=4,
在Rt△MNO中,MN=2ON,
∵M(jìn)N2=ON2+OM2
∴(2ON)2=ON2+52
∴M(5,0),N(0,),
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b,
得方程組是:,
解這個(gè)方程組得:
所以,直線MN的解析式是:
點(diǎn)評(píng):本題考查了直角三角形,圓與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用,本題中用直角三角形來求出坐標(biāo)軸上的線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.
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(2)指出此函數(shù)的圖象不經(jīng)過哪個(gè)象限?

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