Question

如圖，P是拋物線 對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在對(duì)稱軸左邊的直線x=t平行于y軸，分別與直線y₂=x、拋物線y₂交于點(diǎn)A、B．若△ABP是以點(diǎn)A或點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求滿足條件的t的值，則t=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)拋物線的解析式與直線的解析分別表示出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再求出AB的長(zhǎng)度，再根據(jù)拋物線解析式求出對(duì)稱軸，然后表示出點(diǎn)P到直線x=t的長(zhǎng)度，然后根據(jù)等腰直角三角形的直角邊相等列出方程求解即可．
解答：解：根據(jù)題意，x=t時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，t），
點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，t²-6t+9），
所以，AB=|t²-6t+9-t|=|t²-7t+9|，
∵y=x²-6x+9=（x-3）²，
∴對(duì)稱軸為直線x=3，
∵點(diǎn)P是拋物線y=x²-6x+9對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴點(diǎn)P到直線x=t的距離為3-t，
∵△ABP是以點(diǎn)A或點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴|t²-7t+9|=3-t，
∴t²-7t+9=3-t或t²-7t+9=-（3-t），
整理得，t²-6t+6=0①或t²-8t+12=0②，
解方程①得t₁=3+，t₂=3-，
解方程②得，t₁=2，t₂=6，
∵直線x=t在對(duì)稱軸左邊，
∴t的值為3-或2．
故答案為：3-或2．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離列出絕對(duì)值方程是解題的關(guān)鍵．