Question

【題目】隨著生活水平的提高，人們對飲水品質(zhì)的需求越來越高，某公司根據(jù)市場需求代理A，B兩種型號的凈水器，其中A型凈水器每臺的利潤為400元，B型凈水器每臺的利潤為500元．該公司計劃再一次性購進(jìn)兩種型號的凈水器共100臺，其中B型凈水器的進(jìn)貨量不超過A型凈水器的2倍，設(shè)購進(jìn)A型凈水器x臺，這100臺凈水器的銷售總利潤為y元．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該公司購進(jìn)A型、B型凈水器各多少臺，才能使銷售總利潤最大，最大利潤是多少？

（3）實(shí)際進(jìn)貨時，廠家對A型凈水器出廠價下調(diào)a（0＜a＜150）元，且限定公司最多購進(jìn)A型凈水器60臺，若公司保持同種凈水器的售價不變，請你根據(jù)以上信息，設(shè)計出使這100臺凈水器銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣100x+50000；（2）該公司購進(jìn)A型凈水器34臺、B型凈水器66臺，才能使銷售總利潤最大，最大利潤是46600元；（3）①當(dāng)0＜a＜100時，公司購進(jìn)34臺A型凈水器和66臺B型凈水器的銷售利潤最大；②a=100時，公司購進(jìn)A型凈水器數(shù)量滿足≤x≤60的整數(shù)時，均獲得最大利潤；③當(dāng)100＜a＜150時，公司購進(jìn)60臺A型凈水器和40臺B型凈水器的銷售利潤最大．

【解析】

（1）根據(jù)“總利潤=A型凈水器每臺利潤×A型凈水器數(shù)量+B型凈水器每臺利潤×B型凈水器數(shù)量”可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)“B型凈水器的進(jìn)貨量不超過A型凈水器的2倍且凈水器量為整數(shù)”求得x的范圍，再結(jié)合（1）所求函數(shù)解析式及一次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（3）根據(jù)a的取值范圍以及一次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論的方法分別進(jìn)行求解即可．

（1）根據(jù)題意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；

（2）∵100﹣x≤2x，

∴x≥．

∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，

∴y隨x的增大而減�。�

∵x為正數(shù)，

∴x=34時，y取得最大值，最大值為46600，

答：該公司購進(jìn)A型凈水器34臺、B型凈水器66臺，才能使銷售總利潤最大，最大利潤是46600元；

（3）據(jù)題意得：y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，

，

①當(dāng)0＜a＜100時，y隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=34時，y取最大值，

即公司購進(jìn)34臺A型凈水器和66臺B型凈水器的銷售利潤最大．

②a=100時，a﹣100=0，y=50000，

即公司購進(jìn)A型凈水器數(shù)量滿足≤x≤60的整數(shù)時，均獲得最大利潤；

③當(dāng)100＜a＜150時，a﹣100＞0，y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=60時，y取得最大值．

即公司購進(jìn)60臺A型凈水器和40臺B型凈水器的銷售利潤最大．