Question

如圖1，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過B、C兩點(diǎn)作過點(diǎn)A的直線l的垂線，垂足為D、E；
（1）如圖1，當(dāng)D、E兩點(diǎn)在直線BC的同側(cè)時(shí)，猜想，BD、CE、DE三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
（2）如圖2，當(dāng)D、E兩點(diǎn)在直線BC的兩側(cè)時(shí)，BD、CE、DE三條線段的數(shù)量關(guān)系為

 

．
（3）如圖2，若直線AD被截成的線段AE、EM、MD的長(zhǎng)度分別是a，b，c，又S_△ABM=S₁，S_△ACM=S₂，求S₂-S₁的值．（用含有a，b，c的代數(shù)式表示）
（4）如圖3，∠BAC=90°，AB=22，AC=28．點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿B→A→C路徑向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿C→A→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和Q分別以每秒2和3個(gè)單位的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，只要有一點(diǎn)到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；在運(yùn)動(dòng)過程中，分別過P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．問：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，△PFA與△QAG全等？（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)∠ADB=∠AEC=90°，求得∠EAC=∠ABD，用AAS證明△ABD≌△ACE，得AD=CE，BD=AE，所以DE=BD+CE
（2）由于BD⊥AD，CE⊥AD，則∠ADB=∠AEC=90°，得到∠ABD+∠BAD=90°，而∠BAD+∠EAC=90°，則∠ABD=∠EAC，加上AB=AC，根據(jù)全等三角形的判定得到可得△ABD≌△ACE，利用全等的性質(zhì)得BD=AE，AD=CE，由AD=AE+DE，即可得到CE=DE+BD．
（3）根據(jù)三角形的面積公式即可求得；
（4）易證∠PFA=∠QGA，∠PAF=∠AQG，只需PA=QA，就可得到△PFA與△QAG全等，然后只需根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)Q不同位置進(jìn)行分類討論即可解決問題．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°
∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠B=90°
∴∠EAC=∠B
∵AB=AC
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD=CE，BD=AE
∴DE=AD+AE=CE+BD．

（2）CE=DE+BD．理由如下：
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中
∵

∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠AEC AB=AC

，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AD=AE+DE，
∴AD=BD+DE．
∴CE=BD+DE；

（3）∵AE、EM、MD的長(zhǎng)度分別是a，b，c，BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=a，CE=AD=a+b+c
又∵S_△ABM=S₁，S_△ACM=S₂，
∴S₁=

1

2

AM•BD=

1

2

a（a+b），S₂=

1

2

AM•CE=

1

2

（a+b）（a+b+c），
∴S₂-S₁=

1

2

（a+b）（a+b+c）-

1

2

a（a+b）=

1

2

（a+b）（b+c）=

1

2

ab+

1

2

ac+

1

2

bc+

1

2

b²；

（4）解：①當(dāng)0≤t＜

28

3

時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在AC上，
此時(shí)有BF=2t，CG=3t，AB=22，AC=28．
當(dāng)PA=QA即22-2t=28-3t，也即t=6時(shí)，
∵PF⊥l，QG⊥l，∠BAC=90°，
∴∠PFA=∠QGA=∠BAC=90°．
∴∠PAF=90°-∠GAQ=∠AQG．
在△PFA和△QAG中，

∠PFA=∠QGA ∠PAF=∠AQG PA=QA

．
∴PFA與≌QAG（AAS）．
②當(dāng)

28

3

≤t＜11時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q也在AB上，
若PA=QA，則點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，故不存在．
③當(dāng)7＜t＜18時(shí)，點(diǎn)Q停在點(diǎn)B處，點(diǎn)P在AC上，
當(dāng)PA=QA即2t-22=22，解得t=22，（舍去）
綜上所述：當(dāng)t等于6時(shí)，△PFA與△QAG全等．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式的應(yīng)用以及分類討論的思想，可能會(huì)因考慮不全面而出錯(cuò)，是一道易錯(cuò)題．