Question

如圖，在直角△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8．D、E分別是AC、BC邊的中點，點P從A出發(fā)沿線段AD-DE-EB以每秒3個單位長的速度向B勻速運動；點Q從點A出發(fā)沿射線AB以每秒2個單位長的速度勻速運動，當點P與點B重合時停止運動，點Q也隨之停止運動，設(shè)點P、Q運動時間是t秒，（t＞0）
（1）當t=______時，點P到達終點B；
（2）當點P運動到點D時，求△BPQ的面積；
（3）設(shè)△BPQ的面積為S，求出點Q在線段AB上運動時，S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）請直接寫出PQ∥DB時t的值．

Answer 1

解：（1）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
由勾股定理得：BC===10，
又由D，E分別是AC，BC的中點，
∴AD=4，DE=3，BE=5，
∴當點P到達終點B時所用時間t=（4+3+5）÷3=4（秒），
答t的值為4秒．

（2）當點P運動到點D時，所用時間為秒，
所以AQ=×2=，
∴BQ=6-=，
∴△BPQ的面積=BQ•AP=×4=；

（3）①如圖，當點P在AD上（不包含D點），
由已知得：AQ=2t，AP=3t，
∴BQ=AB-AQ=6-2t，
已知∠A=90°，
∴△BPQ的面積S=BQ•AP=（6-2t）•3t=-3t²+9t，
所以Q在線段AB上運動時，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=-3t²+9t．
②如圖當點P在DE（包括點D、E）上，
過點P作PF⊥AB于F，
則PF=AD=4，
∴△BPQ的面積S=BQ•PF=（6-2t）•4=12-4t，
所以此時Q在線段AB上運動時，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=12-4t．
③當點P在BE上（不包括E點），
由已知得：BP=3+4+5-3t=12-3t，
過點P作PF⊥AB于F，
∴PF∥AC，
∴△BPF∽△BCA，
∴=，
∴=，
∴PF=，
∴△BPQ的面積S=BQ•PF=（6-2t）•=-t+，
所以Q在線段AB上運動時，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=-t+，

（4）若PQ∥DB，則點P、Q必在DB同側(cè)．分兩種情況：
①當點Q在AB上，點P在AD上時，
假設(shè)PQ∥DB成立，
則△AQP∽△ABD，
∴=，
∴=，
此時方程的解是t=0，但此解不符合題意，
則PQ∥DB不成立，
②當3＜t＜4時，點Q在AB延長線上，點P在EB上，
此時PB=12-3t，PC=3t-7，BQ=2t-6．
若PQ∥DB，設(shè)直線PQ交DE與N，
∵DE∥AB，
∴△PEN∽△PBQ，
∴EN：BQ=PE：PB，
則EN=；
又∵NQ∥DB，
∴EN：ED=EP：EB，
則EN=，
所以=，
解得t=符合題意．
綜上所述，當t= 時，PQ∥DB．
分析：（1）由已知和勾股定理先求出BC，再由D，E分別是AC，BC的中點，求出AD、DE、BE，從而求出t；
（2）先求出當點P運動到點D時所用時間，得出AQ的長，即可求出BQ的長，再根據(jù)△BPQ的面積=BQ•AP進行計算即可；
（3）由已知用t表示出AQ、AP、BQ，再由∠A=90°，通過面積公式求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）通過假設(shè)，分兩種情況討論即可求解．
點評：此題考查的知識點是勾股定理、三角形中位線定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是通過勾股定理三角形中位線定理求解，以及通過假設(shè)推出錯誤結(jié)論論證．