Question

如圖，正方形ABCD中，E是BC的中點，EF⊥AE交∠DCE外角的平分線于F．
（1）求證：AE=EF；

（2）如圖，當(dāng)E是BC上任意一點，而其它條件不變，AE=EF是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：取AB的中點H，連接EH；
∵ABCD是正方形，
AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB=90°，
∠2+∠AEB=90°
∴∠1=∠2，
∵BH=BE，∠BHE=45°，
且∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，
∴△AHE≌△ECF，
∴AE=EF；

（2）解：成立．
在AB上取BH=BE，連接EH，
∵ABCD為正方形，
∴AB=BC，
∵BE=BH，
∴AH=EC，
∵∠1=∠2，∠AHE=∠ECF=135°，
∴△AHE≌△ECF，
∴AE=EF．
分析：（1）取AB的中點H，連接EH，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE=EF；
（2）成立，在AB上取BH=BE，連接EH，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE=EF．
點評：此題考查學(xué)生對正方形的性質(zhì)及全等三角形判定的理解及運用．