Question

5．已知x⁴-5x³+ax²+bx+c能被（x-1）²整除，試求（a+b+c）²的值．

Answer 1

分析 由于x⁴-5x³+ax²+bx+c能被（x-1）²整除，即1是方程x⁴-5x³+ax²+bx+c的一個根，把x=1代入x⁴-5x³+ax²+bx+c=0，得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程，求得a+b+c的結(jié)果，即可得到（a+b+c）²的值．

解答 解：∵x⁴-5x³+ax²+bx+c能被（x-1）²整除，
即1是方程x⁴-5x³+ax²+bx+c的一個根，把x=1代入x⁴-5x³+ax²+bx+c=0，得
1-5+a+b+c=0，則a+b+c=4，
（a+b+c）²=4²=16．
故（a+b+c）²的值是16．

點評 本題主要考查了整式乘除法與因式分解的關(guān)系及求代數(shù)式的值的方法，屬于競賽題型，有一定難度．本題的關(guān)鍵是能夠通過整式乘除法與因式分解的關(guān)系得出x⁴-5x³+ax²+bx+c含有因式（x-1）²，從而可知1是方程x³+ax²+bx+c=0的一個根，從而求出（a+b+c）²的值．