Question

6．如圖，等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，OA=1，OC=2，OB=3，求∠AOC的角度．

Answer 1

分析 把△CAO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBP，如圖，先證明△CPO為等腰直角三角形，再利用勾股定理的逆定理證明△BPO為直角三角形，∠BPO=90°，于是可計(jì)算∠BPC的度數(shù)，從而得到∠AOC的度數(shù)．

解答 解：∵△ACB為等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，CA=CB，
把△CAO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBP，如圖，
∴∠OCP=90°，CP=CO=2，BP=AO=1，∠BPC=∠AOC，
∴△CPO為等腰直角三角形，
∴∠CPO=45°，PO=$\sqrt{2}$CO=2$\sqrt{2}$，
在△BPO中，∵PB=1，OP=2$\sqrt{2}$，OB=3，
而1²+（2$\sqrt{2}$）²=3²，
∴BP²+PO²=OB²，
∴△BPO為直角三角形，∠BPO=90°，
∴∠BPC=∠BPO+∠CPO=90°+45°=135°，
∴∠AOC=135°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了勾股定理的逆定理和等腰直角三角形．