Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AO⊥BC于F，D為

AC

的中點(diǎn)，E是BA延長線上一點(diǎn)，∠DAE=114°，則∠CAD等于（　�。�

• A、57°
• B、38°
• C、33°
• D、28.5°

Answer 1

考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),垂徑定理,圓周角定理

專題：

分析：由于D是弧AC的中點(diǎn)，可知∠ABC=2∠ACD；由于半徑AO⊥BC，由垂徑定理易證得AB=AC，即∠ACB=∠ABC=2∠ACD，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)知：∠BCD=∠DAE=114°，由此可求出∠ACD的度數(shù)；而∠DAC和∠DCA是等弧所對(duì)的圓周角，則∠DAC=∠DCA，由此得解．

解答：解：∵AO⊥BC，且AO是⊙O的半徑，
∴AO垂直平分BC，
∴AB=AC，即∠ABC=∠ACB，
∵D是

AC

的中點(diǎn)，
∴∠ABC=2∠DCA=2∠DAC，
∴∠ACB=2∠DCA，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠BCD=∠DAE=114°，
∴∠ACB+∠DCA=114°，
即3∠DCA=114°，
∴∠DAC=∠DCA=38°．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理，等腰三角形的判定等知識(shí)，能夠發(fā)現(xiàn)∠ACB與∠DCA之間的倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．