Question

10．在學習完矩形的內(nèi)容后，某課外學習小組對矩形的運動問題進行了研究，如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點O為矩形ABCD對角線的交點．
操作發(fā)現(xiàn)：
如圖（1）所示，點E為AD邊上任意一點，連接EO并延長與BC邊交于點F．
（1）小組成員甲發(fā)現(xiàn)“AE=CF”，請你完成證明；
（2）如圖（2），連接BE、DF，小組成員乙發(fā)現(xiàn)“四邊形BEDF的形狀一定是平行四邊形，當AE的長為$\frac{5}{3}$時，四邊形BEDF是菱形”；
探究發(fā)現(xiàn)：
受前面兩位組員的啟發(fā)，小組成員丙與丁對圖形進一步操作，將圖（2）中的△ABE與△CDF分別沿BE與DF進行翻折，點A與點C分別落在矩形ABCD內(nèi)的點A′，C′處．
（3）如圖（3），連接A′D，BC′，發(fā)現(xiàn)“四邊形BA′DC′是平行四邊形”，請你證明這個結(jié)論；
（4）如圖（4），連接A′C′，A′C′有最小值嗎？若有，請你直接寫出AE的長；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得到OA=OC，AD∥BC從而得出△AOE≌△COF，即可；
（2）由矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)得出線段的關(guān)系，利用勾股定理建立方程16+x²=（6-x）²，即可；
（3）由對折的性質(zhì)得出線段和角相等，判斷出角相等，從而判斷A′B∥C′D，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可；
（4）由A′C′最短，只有點A′，C′在線段EF上，計算即可．

解答
（1）證明：如圖1，連接AC，
∴點O在線段AC上，AD∥BC，OA=OC，
∴∠AOE=∠COF，∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF；

（2）解：如圖2，連接BD，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，
由（1）有AE=CF，
∴DE=BF
Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴BE=DF，
∵EF=EF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形．
設AE=x，則DE=6-x，
∵四邊形BEDF是菱形，
∴BE=BD=6-x，
在Rt△ABE中，AB=4，
根據(jù)勾股定理，得 AB²+AE²=BE²，
∴16+x²=（6-x）²，
∴x=$\frac{5}{3}$．
故答案為平行四邊形，$\frac{5}{3}$．

（3）解：如圖3，連接BD，由（1）有，AE=CF，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴∠ABE=CDF，
∵沿BE翻折，點A落在A′處，
∴Rt△ABE≌Rt△A′BE，
∴A′B=AB，∠ABE=∠A′BE=$\frac{1}{2}$∠ABA′
同理可得，C′D=CD，∠CDF=∠C′DF=$\frac{1}{2}$∠C′DC，
∴∠ABA′=∠C′DC，A′B=C′D，
∠ABO-∠ABA′=∠CDO-∠CDC′，
∴∠OBA′=∠ODC′，
∴A′B∥C′D，
∴四邊形BA′DC′是平行四邊形；

（4）解：由（3）可知，A'C'=2OA'，
∴A'C'最小時，OA'最�。�
連接OB，在△A'OB中，
OA'≥A'B-OB，
∴OA'取最小值時，點B，O，A'共線；
即落在對角線上．
∴要使A′C′最小，只有點A′，C′落在矩形對角線BD上，
設AE=x，
∴EA′=x，DE=6-x，矩形的對角線BD=$\sqrt{{BC}^{2}{+CD}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
由對折有BA′=BA=4
∴DA′=BD-BA′=2$\sqrt{13}$-4，
在Rt△DEA′中，有DE²=EA′²+DA′²，
∴（6-x）²=x²+（2$\sqrt{13}$-4）²
∴x=$\frac{4\sqrt{13}-8}{3}$，
即：AE=$\frac{4\sqrt{13}-8}{3}$．

點評 本題是四邊形的綜合題，主要考查了四邊形中的平行四邊形和矩形的性質(zhì)和判定，涉及到的知識點還有對折，三角形的全等，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是判斷三角形全等和對折的性質(zhì)，本題的難點是作輔助線．