Question

如圖，AB為⊙O的直徑，直線DT切⊙O于T，AD⊥DT于D，交⊙O于點C，AC=2，DT=，求∠ABT的度數(shù)．

Answer 1

解：連接OT、BC，相交于點E，
∵直線DT切⊙O于T，
∴∠OTD=90°，
∵AD⊥DT于D，
∴∠ADT=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠DCB=90°，
∴四邊形CDTE是矩形，
∴∠CET=90°，CE=DT=，
∴BC=2CE=2，
∵tan∠ABC==，
∴∠ABC=30°，
∴∠BOT=60°，
∵OB=OT，
∴△OBT為等邊三角形，
∴∠ABT=60°．
分析：連接OT、BC，相交于點E，由直線DT與圓相切，利用切線的性質(zhì)得到∠OTD為直角，由AB為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB為直角，由∠ADT為直角，利用三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形CDTE為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠CET為直角，且CE=DT，再利用垂徑定理得到BC=2BE，再直角三角形ABC中，利用銳角三角函數(shù)定義求出tan∠ABC的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠ABC的度數(shù)，確定出∠BOT的度數(shù)為60度，由OB=OT，得到三角形OBT為等邊三角形，即可確定出∠ABT的度數(shù)．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，圓周角定理，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．