Question

20．如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊AB與反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象交于點(diǎn)D，且AD：DB=1：8，則：
（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{1}{3}$，3）；
（2）設(shè)P是反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PB長(zhǎng)度的最小值是$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，m）（m＞0），根據(jù)比例關(guān)系找出點(diǎn)D的坐標(biāo)，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入到反比例函數(shù)中即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值，將其代入點(diǎn)D的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，$\frac{1}{n}$）（n＞0），由點(diǎn)B的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式找出BP=$\sqrt{（n+\frac{1}{n}-3）^{2}+7}$，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可找出BP的最小值．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，m）（m＞0），
∵AD：DB=1：8，
∴AD：AB=1：9，
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{m}{9}$，m）．
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y=$\frac{1}{x}$中，得m=$\frac{1}{\frac{m}{9}}$，
即m²=9，解得：m=±3．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{1}{3}$，3）．
故答案為：（$\frac{1}{3}$，3）．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，$\frac{1}{n}$）（n＞0），
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3），
∴BP=$\sqrt{（3-n）^{2}+（3-\frac{1}{n}）^{2}}$，
=$\sqrt{{n}^{2}-6n+9+\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{6}{n}+9}$，
=$\sqrt{（n+\frac{1}{n}）^{2}-6（n+\frac{1}{n}）+9+7}$，
=$\sqrt{（n+\frac{1}{n}-3）^{2}+7}$，
當(dāng)n+$\frac{1}{n}$-3=0時(shí)，BP取最小值$\sqrt{7}$．
故答案為：$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是：（1）用m表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）找出線段BP=$\sqrt{（n+\frac{1}{n}-3）^{2}+7}$．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出線段BP的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．