Question

如圖，已知一次函數(shù)y₁=ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y₂=

m

x

（m≠0）的圖象交于A（2，4），B（-4，n）兩點(diǎn)，一次函數(shù)y₁=ax+b的圖象與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求a的值；
（2）求一次函數(shù)y₁的解析式；
（3）一次函數(shù)y₃=cx+d（c≠0）的圖象與y₁=ax+b的圖象交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)E（4，0），連接AE，△ADE的面積為27，求點(diǎn)D的坐標(biāo)與y₃的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）、（2）先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到-4n=4×2，解得n=-2，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-2），然后利用待定系數(shù)法可求得一次函數(shù)y₁的解析式為y₁=x+2；
（3）先確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），再計(jì)算S_△ACE=12，所以S_△CDE=S_△ADE-S_△ACE=15，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m+2），利用三角形面積公式得

1

2

×（4+2）×|m+2|=15，解得m₁=-7，m₂=3（舍去），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（-7，-5），然后利用待定系數(shù)法可求得一次函數(shù)y₃的解析式．

解答：解：（1）把A（2，4）代入y₂=

m

x

得m=2×4=8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y₂=

8

x

，
把B（-4，n）代入y₂=

8

x

得-4n=8，解得n=-2，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-2），
把A（2，4）、B（-4，-2）代入y₁=ax+b，
得

2a+b=4 -4a+b=-2

，解得

a=1 b=2

，
即a的值為1；

（2）由（1）得一次函數(shù)y₁的解析式為y₁=x+2；

（3）y=0代入y₁=x+2得x+2=0，解得x=-2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
∴S_△ACE=

1

2

×（4+2）×4=12，
∵△ADE的面積為27，
∴S_△CDE=S_△ADE-S_△ACE=27-12=15，
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m+2），
∴

1

2

×（4+2）×|m+2|=15，
解得m₁=-7，m₂=3（舍去），
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-7，-5）；
把E（4，0）、D（-7，-5）代入y₃=cx+d，
得

4c+d=0 -7c+d=-5

，解得

c= 5 11 d=- 20 11

，
∴y₃的解析式為y₃=

5

11

x-

20

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．