【題目】在平面直角坐標系中,已知拋物線軸交于點和點(點在點的左側(cè)),與軸交于點,對稱軸是直線

1)求拋物線的表達式;

2)直線平行于軸,與拋物線交于兩點(點在點的左側(cè)),且,點關(guān)于直線的對稱點為,求線段的長;

3)點是該拋物線上一點,且在第一象限內(nèi),聯(lián)結(jié)、,交線段于點,當(dāng)時,求點的坐標.

【答案】1y=-x2+2x+3;(2;(3)(,)或(,)

【解析】

1)根據(jù)拋物線與軸交于點可得出c的值,然后由對稱軸是直線可得出b的值,從而可求出拋物線的解析式;
2)令y=0得出關(guān)于x的一元二次方程,求出x,可得出點A、B的坐標,從而得到AB的長,再求出MN的長,根據(jù)拋物線的對稱性求出點M的橫坐標,再代入拋物線解析式求出點M的縱坐標,再根據(jù)點的對稱可求出OE的長;
3)過點Ex軸的平行線EH,分別過點F,PEH的垂線,垂足分別為G,Q,則FGPQ,先證明△EGF∽△EQP,可得,設(shè)點F的坐標為(a-a+3),則EG=a,FG=-a+3-=-a+,可用含a的式子表示P點的坐標,根據(jù)P在拋物線的圖象上,可得關(guān)于a的方程,把a的值代入P點坐標,可得答案.

解:(1)將點C0,3)代入c=3,

又拋物線的對稱軸為直線x=1,

-=1,解得b=2,

∴拋物線的表達式為y=-x2+2x+3;

2)如圖,

y=0,則-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,
∴點A-10),B3,0),∴AB=3--1=4,
,∴MN=×4=3,
根據(jù)二次函數(shù)的對稱性,點M的橫坐標為,

代入二次函數(shù)表達式得,y=

∴點M的坐標為,

又點C的坐標為(0,3),點C與點E關(guān)于直線MN對稱,

CE=2×(3-=,

OE=OC-CE=;

3)如圖,過點Ex軸的平行線EH,分別過點F,PEH的垂線,垂足分別為GQ,則FGPQ

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+bk0),

,解得,

∴直線BC的解析式為y=-x+3,

設(shè)點F的坐標為(a,-a+3),則EG=a,FG=-a+3-=-a+

FGPQ,∴△EGF∽△EQP,

,∴FP:EF=1:2,∴EF:EP=2:3

,

EQ=EG=a,PQ=FG=-a+=-a+,

xP=a,yP=-a++=-a+,即點P的坐標為(a,-a+),

又點P在拋物線y=-x2+2x+3上,

-a+=-a2+3a+3,化簡得9a2-18a+5=0

解得a=a=,符合題意,

∴點P的坐標為(,)或(,)

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