Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)P是CD延長線上的一點(diǎn)，PA是⊙O的切線；
（1）求證：AP=AC；
（2）若PD=

3

，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OA，根據(jù)圓周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由PA是⊙O的切線，得出∠P=30°，繼而由∠OAP=∠C，可得出AP=AC，從而得出結(jié)論；
（2）利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出OP=2OA，可得出OP-PD=OD，再由PD=

3

，可得出⊙O的直徑．

解答：（1）證明：連接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵PA是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠P=∠OCA，∴AP=AC，
（2）解：在Rt△OAP中，∵∠P=30°，
∴PO=2OA=OD+PD，
又∵OA=OD，∴PD=OA，
∵PD=

3

，∴2OA=2PD=2

3

．
∴⊙O的直徑為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：針對(duì)含有切線的解答題，首先要想到的是作“輔助線”獲得更多能夠證明題目要求的條件，一般的方法為“見切點(diǎn)，連圓心”，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形（垂直），然后利用切線性質(zhì)及直角三角形進(jìn)行證明或計(jì)算，有了30°角直角三角形首先想到含30°的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．