Question

4．我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質(zhì)，如有關(guān)線段比．面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問題．
請你利用重心的概念完成如下問題：

（1）如圖1，△ABC的中線AD、CE的交點O為三角形的重心，利用三角形的中位線可以證明：$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$，請你完成該證明；
（2）運用第（1）的結(jié)論解決以下問題：
①小麗說：“過三角形的重心任畫一條直線都能將三角形的面積平分”．小明想了想說：“這個說法是錯誤的．”他過點O畫出了BC的平行線，交AB、AC于點E、F，如圖2，你能求出$\frac{{{S_{△AEF}}}}{{{S_{四邊形EBCF}}}}$的值嗎？誰的說法正確？
②△ABC中，∠C=90°，AB=6cm，求△ABC的重心與外心的距離．

Answer 1

分析 （1）連接DE，根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)證明即可；
（2）①根據(jù)三角形的重心的概念和相似三角形的面積比等于相似比的平方解答即可；
②根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半、三角形的重心的性質(zhì)解答即可．

解答 解：（1）連接DE，
由題意，D、E為BC、AB中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC．
∴△ODE∽△OAC，且相似比為1：2，
∴AO=2OD，
∴$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$；
（2）①∵EF∥BC，
∴△AEO∽△ABD，相似比為$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{3}$；
同理，△AEF∽△ABC，相似比為$\frac{2}{3}$；
∴$\frac{{{S_{△AEF}}}}{{{S_{△ABC}}}}=\frac{4}{9}$，
∴$\frac{{{S_{△AEF}}}}{{{S_{四邊形EBCF}}}}=\frac{4}{5}$；
∴小明說法正確；
②Rt△ABC外心為AB的中點，記為點D，
∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=3cm，
重心O在中線CD上，由（1）得$\frac{CO}{CD}=\frac{2}{3}$，
∴OD=3×$\frac{1}{3}$=1cm．

點評 本題考查的是相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及三角形的重心的性質(zhì)，掌握重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1是解題的關(guān)鍵．