Question

20．如圖．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{1}{2}$x+3的圖象與x釉、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B．拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，并且與直線相交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-4．
（1）求二次函數(shù)的解析式以及cos∠BAO的值；
（2）點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合），過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，作PF⊥AC于點(diǎn)F．當(dāng)△PEF的周長(zhǎng)與△ADE的周長(zhǎng)之比等于$\sqrt{5}$：2時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)并求出此時(shí)PEF的周長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，將△ADE繞平面內(nèi)一點(diǎn)M按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△A₁D₁E₁，點(diǎn)A、D、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A₁、D₁、E₁．若△A₁D₁E₁的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，求出點(diǎn)A₁的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）只需求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式，只需求出OA、OB、AB，然后運(yùn)用三角函數(shù)的定義就可求出cos∠BAO的值；
（2）可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0），從而可求出EP、AE（用m的代數(shù)式表示），易證△PFE∽△ADE，只需運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題；
（3）設(shè)點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（p，q），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得點(diǎn)D₁（p，q+5），點(diǎn)E₁（p+$\frac{5}{2}$，q+5），顯然點(diǎn)A₁、D₁不可能同時(shí)在拋物線上，只需分D₁、E₁在拋物線上和A₁、E₁在拋物線上兩種情況討論，就可解決問題．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是直線y=-$\frac{1}{2}$x+3與x釉、y軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．
∵點(diǎn)C在直線y=-$\frac{1}{2}$x+3上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，5）．
∵點(diǎn)A、點(diǎn)C在拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9+6b+c=0}\\{4-4b+c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-x-3．
在Rt△AOB中，
∵A（6，0），B（0，3），
∴OA=6，OB=3，
∴AB=3$\sqrt{5}$，cos∠BAO=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{6}{3\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0），則有
AD=6-m，P（m，$\frac{1}{4}$m²-m-3），E（m，-$\frac{1}{2}$m+3），
∴PE=（-$\frac{1}{2}$m+3）-（$\frac{1}{4}$m²-m-3）=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+6，
AE=$\frac{AD}{cos∠BAO}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（6-m）．
∵∠PFE=∠ADE=90°，∠PEF=∠AED，
∴△PFE∽△ADE，
∴$\frac{{C}_{△PFE}}{{C}_{△ADE}}$=$\frac{PE}{AE}$，即
∴$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{-\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{2}m+6}{\frac{\sqrt{5}}{2}（6-m）}$，
整理可得m²-7m+6=0，
解得m₁=1，m₂=6（舍去），
∴D（1，0），E（1，$\frac{5}{2}$）
∴AD=5，DE=$\frac{5}{2}$，AE=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴C_△ADE=$\frac{15+5\sqrt{5}}{2}$，
∴C_△PEF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$C_△ADE=$\frac{15\sqrt{5}+25}{4}$；

（3）設(shè)點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（p，q），
∵△A₁D₁E₁是由△ADE繞平面內(nèi)一點(diǎn)M按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°所得，
∴D₁E₁⊥y軸，A₁D₁⊥x軸，D₁E₁=DE=$\frac{5}{2}$，A₁D₁=AD=5．
∴點(diǎn)D₁的坐標(biāo)為（p，q+5），點(diǎn)E₁的坐標(biāo)為（p+$\frac{5}{2}$，q+5）．
①當(dāng)D₁、E₁在拋物線上時(shí)，
D₁與E₁關(guān)于對(duì)稱軸x=-$\frac{-1}{2×\frac{1}{4}}$=2對(duì)稱，
則有2-p=p+$\frac{5}{2}$-2，
解得p=$\frac{3}{4}$，
∴q+5=$\frac{1}{4}$p²-p-3=-$\frac{231}{64}$，
∴q=-$\frac{551}{64}$，
∴點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（$\frac{3}{4}$，-$\frac{551}{64}$）；
②當(dāng)A₁、E₁在拋物線上時(shí)，
則有$\left\{\begin{array}{l}{q=\frac{1}{4}{p}^{2}-p-3}\\{q+5=\frac{1}{4}（p+\frac{5}{2}）^{2}-（p+\frac{5}{2}）-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{19}{4}}\\{q=-\frac{135}{64}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（$\frac{19}{4}$，-$\frac{135}{64}$）．
綜上所述：點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（$\frac{3}{4}$，-$\frac{551}{64}$）或（$\frac{19}{4}$，-$\frac{135}{64}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、解方程組、三角函數(shù)的定義、勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比是解決第（2）小題的關(guān)鍵，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到A₁、D₁、E₁坐標(biāo)之間的關(guān)系，是解決第（3）小題的關(guān)鍵．