Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點，∠ABD=2∠BAC．過點C作CE⊥DB，垂足為E，直線AB與CE相交于F點．
（1）求證：CF為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為 cm，弦BD的長為3cm，求CF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連結(jié)OC，如圖，

∵OA=OC，

∴∠A=∠OCA，

∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，

∵∠ABD=2∠BAC，

∴∠ABD=∠BOC，

∴OC∥BD，

∵CE⊥BD，

∴OC⊥CE，

∴CF為⊙O的切線；

（2）

解：作OH⊥BD于H，如圖，

則BH=DH= BD= ，

在Rt△OBH中，∵OB= ，BH= ，

∴OH= =2，

易得四邊形OHEC為矩形，

∴CE=OH=2，HE=OC= ，

∴BE=NE﹣BH=1，

∵BE∥OC，

∴△FBE∽△FOC，

∴ ，即 ，

∴CF= ．

【解析】（1）連結(jié)OC，如圖，由于∠A=∠OCA，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BOC=2∠A，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根據(jù)平行線的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根據(jù)切線的判定定理得CF為⊙O的切線；（2）解：作OH⊥BD于H，如圖，根據(jù)垂徑定理得到BH=DH= BD= ，在Rt△OBH中可利用勾股定理計算出OH=2，易得四邊形OHEC為矩形，則CE=OH=2，HE=OC= ，BE=1，然后證明△FBE∽△FOC，利用相似比可計算出CF．