Question

16．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜180°）得△ADE，BD和EC所在的直線相交于點(diǎn)O
（1）當(dāng)θ=30°時(shí)，如圖①，∠BOE=135度．
（2）當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，∠BOE的度數(shù)與（1）中的結(jié)果相同嗎？請(qǐng)寫出求解過(guò)程，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖①，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠ABC=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAD=∠CAE=30°，AB=AD，AC=AE，∠ADE=∠ABC=45°，∠AED=∠ACB=90°，則利用等腰三角形的性質(zhì)得∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，然后根據(jù)三角形捏角和定理可計(jì)算出∠ADB=∠AEC=75°，根據(jù)互余計(jì)算出∠OED=15°，再利用三角形外角和性質(zhì)可計(jì)算出∠BOE=∠ODE+∠OED=135°；
（2）如圖②，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAD=∠CAE=θ，AB=AD，AC=AE，∠ADE=∠ABC=45°，∠AED=∠ACB=90°，則利用等腰三角形的性質(zhì)得∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，接著根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠ADB=90°-$\frac{1}{2}$θ，∠AEC=90°-$\frac{1}{2}$θ，利用互余計(jì)算出∠OED=∠AED-∠AEC=$\frac{1}{2}$θ，然后利用三角形外角和性質(zhì)可計(jì)算出∠BOE=∠ODE+∠OED=135°．

解答 解：（1）如圖①，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得△ADE，
∴∠BAD=∠CAE=30°，AB=AD，AC=AE，∠ADE=∠ABC=45°，∠AED=∠ACB=90°，
∴∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，∠AEC=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠OED=∠AED-∠AEC=90°-75°=15°，
∴∠BOE=∠ODE+∠OED=75°+45°+15°=135°，
故答案為135；
（2）∠BOE的度數(shù)與（1）中的結(jié)果相同．理由如下：
如圖②，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ得△ADE，
∴∠BAD=∠CAE=θ，AB=AD，AC=AE，∠ADE=∠ABC=45°，∠AED=∠ACB=90°，
∴∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$（180°-θ）=90°-$\frac{1}{2}$θ，∠AEC=90°-$\frac{1}{2}$θ，
∴∠OED=∠AED-∠AEC=90°-（90°-$\frac{1}{2}$θ）=$\frac{1}{2}$θ，
∴∠BOE=∠ODE+∠OED=90°-$\frac{1}{2}$θ+45°+$\frac{1}{2}$θ=135°，
即∠BOE的度數(shù)與（1）中的結(jié)果相同．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．