Question

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B是它的一個銳角，若sinB，cosB是關(guān)于x的方程4x²-5kx+5k+4=0的兩個實數(shù)根，則k的值為（　　）

• A． $\frac{12}{5}$
• B． -$\frac{4}{5}$
• C． $\frac{12}{5}$或-$\frac{4}{5}$
• D． 以上各項都不對，關(guān)于k無解

Answer 1

分析 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到sinB+cosB=$\frac{5k}{4}$，sinB•cosB=$\frac{5k+4}{4}$，再利用同角的正余的平方和為1得到sin²B+cos²B=1，則（sinB+cosB）²-2sinB•cosB=1，所以（$\frac{5k}{4}$）²-2•$\frac{5k+4}{4}$=1，解得k₁=$\frac{12}{5}$，k₂=-$\frac{4}{5}$，
然后根據(jù)sinB，cosB都是正數(shù)可確定k的值．

解答 解：根據(jù)題意得sinB+cosB=$\frac{5k}{4}$，sinB•cosB=$\frac{5k+4}{4}$，
∵sin²B+cos²B=1，
∴（sinB+cosB）²-2sinB•cosB=1，
∴（$\frac{5k}{4}$）²-2•$\frac{5k+4}{4}$=1，
整理得25k²-40k-48=0，解得k₁=$\frac{12}{5}$，k₂=-$\frac{4}{5}$，
∵sinB+cosB=$\frac{5k}{4}$＞0，sinB•cosB=$\frac{5k+4}{4}$＞0，
∴k的值為$\frac{12}{5}$．
故選A．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系．