Question

29、如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為F，與AB相交于點(diǎn)E，連接CE．
（1）說(shuō)明：AE=CE=BE；
（2）若AB=15cm，P是直線DE上的一點(diǎn)．則當(dāng)P在何處時(shí)，PB+PC最小，并求出此時(shí)PB+PC的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)得出AE=CE，再根據(jù)等腰三角形的判定定理得出△BCE是等腰三角形，即CE=BE即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)線段的垂直平分線到線段兩端的距離相等可得PC=PA，再由兩點(diǎn)之間線段最短可得出當(dāng)P在E處時(shí)最小，即PB+PC=AB=15cm．

解答：解：（1）等邊三角形ADC中，
∵DF⊥AC，
∴DF垂直平分AC，
∴AE=CE；
∴∠ACE=∠CAE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=∠CAE+∠B=90°，
∴∠BCE=∠B，
∴CE=BE，
∴AE=CE=BE；

（2）∵DE垂直平分AC，
∴PC=PA，
∴PB+PC=PB+PA；
∴PB+PC最小，也就是PB+PA最小，也就是P、B、A在同一直線上是最小，即當(dāng)P在E處時(shí)最小，
當(dāng)點(diǎn)P在E處時(shí)，PB+PC=EB+EC=AB=15cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是最短線路問(wèn)題，解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)．