Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為直角梯形，OA∥BC，BC=14，A（16，0），C（0，2）．
（1）如圖①，若點P、Q分別從點C、A同時出發(fā)，點P以每秒2個單位的速度由C向B運動，點Q以每秒4個單位的速度由A向O運動，當(dāng)點Q停止運動時，點P也停止運動．設(shè)運動時間為t秒（0≤t≤4）．
①求當(dāng)t為多少時，四邊形PQAB為平行四邊形？
②求當(dāng)t為多少時，直線PQ將梯形OABC分成左右兩部分的比為1：2，并求出此時直線PQ的解析式．
（2）如圖②，若點P、Q分別是線段BC、AO上的任意兩點（不與線段BC、AO的端點重合），且四邊形OQPC面積為10，試說明直線PQ一定經(jīng)過一定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）①只要PB=AQ就說明四邊形PQAB為平行四邊形，由此建立關(guān)于t的方程．
②直線PQ將梯形OABC分成左右兩部分的比為1：2，則梯形COQP的面積是梯形COAB面積的

1

3

．由此建立關(guān)于t的方程．
（2）通過設(shè)P點坐標(biāo)，由面積已知可表示Q點坐標(biāo)，這樣可表示出直線PQ的解析式，然后分析解析式找出定點．

解答：解：（1）①CP=2t，則PB=14-2t，AQ=4t因為PB∥QA，
所以當(dāng)PB=QA時四邊形PQAB為平行四邊形，即有14-2t=4t．
所以t=

7

3

s
②直線PQ將梯形OABC分成左右兩部分的比為1：2，則梯形COQP的面積是梯形OABC面積的

1

3

，
∴

1

2

（2t+16-4t）×2=

1

3

×

1

2

(14+16)×2，
即t=3s時，直線PQ分梯形OABC左右兩部分的比為1：2
此時P（6，2），Q（4，0）可求得PQ：y=x-4．

（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，2），則CP=m．
∵四邊形OQPC面積為10，
∴

1

2

(m+OQ)•2=10，解得OQ=10-m．
∴Q（10-m，0）．
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，（k≠0），
則

2=mk+b 0=(10-m)k+b

，兩式相加得b=1-5k．
∴直線PQ的解析式可表示為y=kx+1-5k．
由于上式中當(dāng)x=5時，y=1，與k的取值無關(guān)，
即不論k取任何滿足條件的值，直線PQ必過定點（5，1）．

點評：掌握平行四邊形的判定方法．記住梯形的面積公式．掌握用待定系數(shù)法求直線的解析式．對于求定點的問題可用不定的解得到如上題：y=kx+1-5k，則（x-5）k=y-1，與k的取值無關(guān)即k有無數(shù)個值，所以x-5=0，y-1=0．